Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ
По дисциплине «Математический анализ»
Для студентов очной формы обучения
Раздел №4 «Кратные и криволинейные интегралы»
Волгодонск
Кратные интегралы.
Задача об объеме цилиндрического тела.
Определение: Пусть дана некоторая кривая L на плоскости и некоторая прямая а, не лежащая в этой плоскости. Через каждую точку кривой проведем прямую параллельную прямой а. Полученная поверхность называется цилиндрической поверхностью, причем кривая L называется направляющей, а прямая a – образующей.
Определение: Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное областью D в плоскости xy; цилиндрической поверхностью, у которой граница области D является направляющей, а образующие параллельны оси Z и поверхностью z=f(x,y).
Требуется найти объем полученного цилиндрического тела. Для этого используем правила:
1) Если тело разбить на не пересекающиеся части, тогда объем всего тела это сумма объемов всех частей;
2) Объем прямого цилиндра (цилиндрическое тело, ограниченное поверхностями z=h1, z=h2 и цилиндрической поверхностью, образующие которого параллельны оси z) равен произведению площади основания на высоту.
Область D произвольным образом разобьем на п частей. - площадь i -ой части области D. На каждом участке разбиения произвольным образом выберем точку . Таким образом, искомое цилиндрическое тело разбили на п частей. Заменим объем i -го цилиндрического тела объемом соответствующего прямого цилиндра, у которого площадь основания равна , а высота . Тогда объем i -го прямого цилиндра . Тогда объем всего цилиндрического тела . Тогда .
Дадим общее определение, не связанное ни с какими характеристиками.
Определение двойного интеграла.
Пусть в плоскости xy задана некоторая область D, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y). Разобьем область D произвольно на п частей, обозначим - площадь i -ой части разбиения, на каждом участке разбиения произвольным образом выберем точку с координатами xi, yi и составим , которая называется интегральной суммой.
Если существует конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек, тогда данный предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.
,
где f(x,y) – подынтегральная функция;
D – область интегрирования;
dS – элемент площади.