1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .
2. По определению полагается: .
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: .
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:
.
5. Для любых чисел и имеет место равенство
.
6. Если функция всюду на отрезке , то
.
7. Если всюду на отрезке , то
.
8. Если функция интегрируема на , то
.
9. Если и – соответственно максимум и минимум функции на отрезке , то
.
10. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что
.
Число называется средним значением функции на отрезке .
Основная формула интегрального исчисления
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формулаНьютона-Лейбница:
.
Основные правила интегрирования
|
|
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 6.4. Пусть:
1) – непрерывная функция на отрезке ;
2) функция – дифференцируема на ,
– непрерывна на
и множеством значений функции является отрезок ;
3) .
Тогда справедлива формула , которая
называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо замены переменной применяют подстановку ;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема 6.5. Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке ; тогда справедлива формула
,
которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Геометрические приложения определенного интеграла