Погрешность результата численного решения задачи
Отклонение истинного решения от приближенного назовем погрешностью.
Решение задач всегда имеют погрешность, связанную со следующими причинами:
1) созданием математической модели (любая модель имеет свою степень точности);
2) получением исходных данных (т.к. являются "результатом измерений", следовательно, возникают измерительные погрешности);
3)использованием вычислительной техники (ошибки округления, возникающие из-за ограниченной разрядной сетки и ошибки, связанные с самими методами. На рис. 1 и 2 показаны составляющие неустранимой и полной погрешности.
Рис. 1. Cоставляющие неустранимой погрешности |
Рис. 2. составляющие полной погрешности
Неустранимую погрешность и погрешность метода необходимо контролировать, чтобы не осуществлять расчеты с избыточной точностью.
Характеристиками точности результата решения задачи являются абсолютная и относительная погрешности. Для технических задач 10 % - хорошая точность.
|
|
Определение. Если х - точное значение некоторого числа, х* - приближенное, то абсолютной погрешностью приближения х* назовем величину: , т.е. точное значение числа х заключено в границах .
Определение. Отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины есть относительная погрешность (т.е. доля истинного значения): , при условии, что .
Пример: Найти абсолютную и относительную погрешности, если х=3.141592, а х*=3.14.
Решение: .
Определение. Значащими цифрами числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример: У чисел подчеркнуты значащие цифры: 0.0 10087 и 0.0 100870000.
Любое число можно представить в виде , где b - основание системы счисления, n – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х), аi – значащие цифры приближенного числа x.
Определение. Значащая цифра аk считается верной, если имеет место неравенство: , где , в противном случае аk - сомнительная цифра.