(Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора).
Остаточный член в форме Лагранжа:
Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что
.
43. Формула Маклорена.
Пусть функция f(x)имеет производную в точке x=0. Тогда в некоторой окрестности этой точки функцию f(x) можно представить в виде
где r п (х) - остаточный член n-го порядка, представимый в том или ином виде.
44. Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Главная часть функции, выделение главной части.
а) Рассмотрим функцию . Все её производные совпадают с ней: , так что коэффициенты Тейлора в точке равны
Поэтому формула Тейлора такова:
б) Рассмотрим функцию . Её производные чередуются в таком порядке:
а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке также возникает повторение:
Получаем формулу Тейлора для синуса:
в) Для функции
45. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или формула Лагранжа. Теорема Коши
|
|
Теорема Ферма:
Для любого натурального числа уравнение
не имеет натуральных решений , и .
Теорема Ролля:
Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке , на концах этого промежутка сохраняет непрерывность и принимает одинаковые значения: . Тогда существует точка , в которой производная функции равна нулю: .
Теорема Лагранжа:
Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что
Теорема Коши:
Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).
Тогда существует число c (a,b) такое, что
46. Правило Лопиталя
Пусть при x a для функций f (x) и g (x), дифференцируемых в некоторой окрестности точки а, выполняются условия:
47. Производные и дифференциалы высших порядков. Общие правила нахождения высших производных. Второе достаточное условие экстремума