Возрастание и убывание функций

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂>х₁, выполнено неравенство f(x₂)>f(x₁).
Функция f убывает на множестве Р, если для любых х₁ и х₂ из множества Р, таких, что х₂>х₁, выполнено неравенство f(x₂)<f(x₁).

Точки экстремума:

Точка х₀ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство f(x) ≤f(x₀).
Точка х₀ называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х₀ выполнено неравенство f(x)≥f(x₀).

49. Исследование функций на экстремум с помощью производных высших порядков. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

Экстремумы:

Пусть в точке х = х₁ f ҆(x₁) = 0 и f ҆ ҆(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

Если f ҆ (x₁) = 0, то функция f(x) в точке х = х₁ имеет максимум, если

f ҆ ҆(x₁)<0 и минимум, если f ҆ ҆ (x₁)>0.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точка перегиба:

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале выпуклым, если график этой функции в пределах интервала лежит не выше любой своей касательной.

График функции , дифференцируемой на интервале , является на этом интервале вогнутым, если график этой функции в пределах интервала лежит не ниже любой своей касательной перегиба.

Точкой перегиба графика функции называется точка , разделяющая промежутки выпуклости и вогнутости.

50. Асимптоты

- прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .