Теоретические сведения. Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости

СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ

Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.

Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.

Теоретические сведения

Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg, сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F _тр., лежащая в этой плоскости.

Рис. 1

Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.

Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно

P ∙cosα − N = 0. (1)

Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F _тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:

ma = mg ∙sinα − F _тр., (2)

где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.

Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид

I ε = F _тр. R, (3)

где I – момент инерции, ε – угловое ускорение. Момент силы тяжести и относительно этой оси равен нулю.

Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F _тр., a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.

Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением

a = R ε. (4)

Из уравнения (4) ε = a / R. После подстановки в (3) получаем

. (5)

Заменив в (2) F _тр. на (5), получаем

. (6)

Из последнего соотношения определяем линейное ускорение

. (7)

Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:

. (8)

Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I / mR ². Без силы трения качения не будет.

При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μ N. Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если

F _тр. ≤ μ N. (9)

Учитывая (1) и (8), получим

, (10)

или, окончательно

. (11)

В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как

I = kmR ², (12)

где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.

После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:

. (13)

Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h, его полная механическая энергия равна потенциальной:

W _п = mgh = mgs ∙sinα, (14)

где s – путь, пройденный центром масс.

Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:

. (15)