1 Дано:
,
(М1,М2,М3) α
______________________
Составить уравнение плоскости α
2 Выполним схематичный чертёж (рис. 5).
Рис.5
3 Выберем произвольную точку М(х,у,z) принадлежащую плоскости α.
4 Составим математическую модель задачи
Точки , , , принадлежат плоскости, тогда векторы: (обратите внимание, что вектора рассматриваются из одной точки М1) также лежат в одной плоскости по аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в плоскости. Если три вектора лежат в одной плоскости, то они компланарные (по определению).
Если вектора компланарные, то их смешанное произведение равно нулю, тогда имеем:
() = 0 (***).
Получили уравнение плоскости в векторной форме.
5 Запишем, полученное уравнение (***) плоскости в координатной форме.
Найдем координаты векторов: , ,
.
Запишем смешанное произведение в координатной форме
= 0 (4)
Задача 2 Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки: А(1, -6, 7),
В(4,5,-3) и С(3,0,2).
Решение
Используя уравнение (4), запишем искомое уравнение в виде:
|
|
= 0
Подставим координаты точек, получим
= 0
Выполним вычисления, получим
= 0
Разложим определитель по элементам первой строки, получим
Приведем уравнение к общему уравнению плоскости
Ответ:
Основные уравнения плоскости представлены в структурной схеме 1