Раздел 5. Дифференциальное исчисление.
Исследование функции с помощью производной
Признаки возрастания и убывания функции
Теорема 1. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция возрастает на этом интервале.
Теорема 2. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция убывает на этом интервале.
Замечание. Если функция f монотонна на интервале (а, b) и непрерывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [ а, b ]. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции.
Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерывны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у' = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 1 имеются три критические точки а, с, е.
Пример 1. Найти интервалы монотонного изменения функции
Решение. Найдем производную функции: y' = x 2 + 5 x + 6.
Эта функция непрерывна. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и найдем корни полученного уравнения:
у' = х 2 + 5 х + 6 = 0 у' = (х + 3)·(х + 2) = 0 х 1 = - 3; х 2 = - 2.
Разобьем числовую прямую на интервалы: (- , -3); (-3, -2); (-2, + ).
Определим знак производной в каждом из интервалов. Учитывая, что в силу непрерывности функция у' в каждом интервале не меняет знака (см. таблицу), можем построить график данной функции (рис. 2).
x | (- , -3) | -3 | (-3,-2) | -2 | (-2, + ) |
y’ | + | - | + | ||
Y | возрастает | убывает | возрастает | ||
max | min |
Рассмотрим случай, когда на отрезке [ а, b ]производная функции равна нулю. Это означает, что функция у = f(x) постоянна на этом отрезке.
Если функции f(х) и φ(х) имеют на отрезке [ а, b ] равные производные f '(x) = φ'(х), то они отличаются на этом отрезке лишь постоянным слагаемым.