Моделювання випадкових функцій

Випадковою називається функція, значення якої для будь-яких фіксованих значень аргументу є випадковими величинами. Задачу моделювання випадкових функцій у загальному випадку не можна звести до моделювання випадкової функції для кожного значення аргументу, оскільки між значеннями функції існує кореляційна залежність. Випадкова функція, аргументом якої є час (t) носить назву випадкового процесу. Тобто випадковий процес є випадковою функцією часу Х (t), яка для кожного значення свого аргументу є випадковою величиною. Якщо тепер зафіксувати момент часу t = t `, то Х (t`) є випадкова величина, яка повністю характеризується своїм законом розподілу.

Задача моделювання випадкових процесів на ЕОМ розуміється як задача знаходження алгоритму, який дозволяє відтворювати значення (величини) реалізації цього процесу.

Випадковий процес вважається заданим, якщо відомі функція дисперсії D (t), математичного сподівання m (t)і кореляційна функція K (t_i, t_j). Ці функції є невипадковими і визначаються шляхом оброблення експериментальних даних моделюванням методами математичної статистики.

Для моделювання реалізацій нестаціонарних випадкових процесів використовують спосіб, заснований на методі канонічних розкладів.

Суть методу полягає у тому, що реалізація випадкового процесу Х(t) на скінченому інтервалі часу задається у вигляді суми елементарних випадкових функцій

, (2.29)

де W_k – центровані некорельовані випадкові величини з дисперсіями D_k i математичним сподіванням m = 0, а f_k – невипадкові координатні функції часу.

Якщо канонічний розклад випадкового процесу є відомим, то його кореляційна функція і дисперсія визначаються за формулами:

; .

Координатні функції f_k для усіх значень функції на інтервалі, що розглядається, а також дисперсії випадкових величин визначається за співвідношеннями:

, (2.30)

. (2.31)

Зазначимо, що якщо i > j, то f_i (t_j) = 0, а також f_i (t_і) = 1.

Таким чином, алгоритм моделювання реалізацій випадкового процесу, що задається математичним сподіванням m_x (t) і кореляційною функцією K_x (t_i,t_j) полягає у наступному:

· За вхідними даними процесу для всіх дискретних значень функцій у моменти часу t_j визначають дисперсії D_i (2.31) і координатні функції канонічного розкладу відповідно до виразу (2.29).

· Із сукупності випадкових чисел вибирають n чисел і перетворюють їх будь-яким відомим способом у випадкові величини W з заданим розподілом (m_W = 0, D_W = D).

Значення випадкового процесу визначають згідно з виразами:

(2.32)

Наведений алгоритм моделювання у випадку стаціонарних випадкових процесів суттєво спрощується, оскільки у цьому випадку кореляційна функція K_x (t_i, t_j) = k (t)не залежить від вибору аргументів, а визначається лише їх різницею t = t_j – t_i.