Упражнение 77

На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке; M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырёхугольник.

Упражнение 78*.

Отрезки AB и CD — диаметры одной окружности. По окружности скользит точка М. Из неё опускают перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ является инвариантом положения точки М (не зависит от положения точки M).

Упражнение 79.

В треугольнике ABC угол B равен 60^o, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

Упражнение 80.

Наокружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, лежит центр другой окружности, проходящей через вершины A, C и точку пересечения высот треугольника ABC. Найдите угол АВС.

Упражнение 81*.

Докажите, что отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.