Постановка задачи вариационного исчисления

Задача вариационного исчисления: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u₀ є D (J), сообщающий функционалу либо минимальное значение

либо максимальное значение

Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала -J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Требование 1. Область определения D (J) функционала J есть линейное многообразие, плотное в Х.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J (u) = J (ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Абсолютный минимум называют сильным минимумом, а относительный – слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к 0 и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью 2-ой производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.