Сведение вариационной задачи к задаче минимизации функции многих перменных

Обычно задачи, требующие минимизации функционала, подчиненного дифференциальному соот­ношению, при наличии интегрального ограничения заменяются минимизацией нового функционала

J(u)= + λ ,

подчиненного только дифференциальному соотношению. Параметр λ, в функционале, получивший название множителя Лагранжа, в задачах оптимизации управления играет роль «цены» ограниченных ресурсов. Его значение находится из граничных условий вариационной задачи.

Важнейшим понятием вариационного исчисления является понятие вариации функции, которое при исследовании функционалов играет такую же роль, как дифференциал при исследовании функций.

Пусть f(x) – функция, непрерывная на интервале [a,b]. Рассмотрим внутреннюю точку х этого интервала и некоторое фиксированное значение дифференциала аргумента функции ∆x=dx. Разность f(x+∆x)-f(x)=df(x)=f(x)∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке х. Условие df(x)=0 является необходимым условием минимума (максимума) функции f(x) в т х.

В вариационном исчислении условие δJ=0 ис­пользуется для получения так называемого диффур Эйлера, среди множества решений которого и определяется затем управление u(t), обращающее в минимум функционал.