Определение 1. Сумма называется линейной комбинацией элементов а1, а2,…,аn с коэффициентами λk.
Определение 2. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ1,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.
Определение 3. Система элементов линейного пространства {a1,…,an} называется линейно
независимой, если ее линейная комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами:
Имеют место несколько простых утверждений.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной независимости). a1,…,an – линейно зависима когда хотя бы один из элементов является линейной комбинацией остальных.
{1.(необходимость: { ak } – л.з.): . Пусть, для определенности, а1 – линейная комбинация остальных.
2.(достаточность: am – л.к.): }
Теорема 2. Если один из элементов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.
{ }
Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
{ }
|
|
Примеры.
1) 2)
3) {f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 } – линейно независимы.