Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:
1) система линейно независима.
2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):
Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rn (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n - (1,х,х2,…,хn).
Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.
{Пусть }
Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.
(В силу т. 1 это определение – корректно)
Будем писать: .
В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как
Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:
{ }
Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:
|
|
λа = (λα1,…,λαn). { }
Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dim L) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.
Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.
Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов.
{Пусть базис пространства L Рассмотрим (n + 1) произвольных элементов Разложим каждый из них по базису { e } и запишем столбцы полученных коэффициентов разложения в виде матрицы An,n+1 . Т.к. rang An,n+1 ≤ n, то, хотя бы один из столбцов будет линейной комбинацией остальных элементы aţ – линейно зависимы
dimL = n }
Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.
Примеры. V2, V3, Rn.