Третий учебный вопрос. Определение главных напряжений и положения главных площадок

Для выявления напряженного состояния (НС) в точке, в ее окрестностях выделяют бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. В общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения (рисунок 4).

Рисунок 4 – Напряжения в общем случае напряженного состояния

При любом напряженном состоянии существует такое положение элемента, при котором на его гранях есть только нормальные напряжения, называемые главными, а касательные напряжения отсутствуют. Главные напряжения расположены на главных площадках. Главные напряжения обозначают σ₁, σ₂, σ₃. Их нумерация показана на рисунке 5. На оси σ круговой диаграммы Мора ноль может располагаться в любом месте. Это зависит от вида напряженного состояния.

Рисунок 5 – Нумерация главных напряжений

В общем случае все главные напряжения не равны нулю (рисунок 6, а). Такое напряженное состояние называется трехосным или объемным. Если имеется два главных напряжения – это двухосное или плоское напряженное состояние (рисунок 6, б). Одноосное или линейное НС показано на рисунке 6, в.

а) б) в)

Рисунок 6 – Трехосное (а), двухосное (б) и одноосное (в) напряженное состояние

При одноосном напряженном состоянии имеется только σ₁, а σ₂ и σ₃ равны нулю. Такое напряженное состояние было рассмотрено выше.

Напряженное состояние чистый сдвиг имеет место при условии σ₂ = 0, σ₃ = – σ₁. Из диаграммы Мора видно, что τ_max = σ_max, τ_min = σ_min (рисунок 7). Касательное напряжение легко вычисляется в поперечном сечении стержня. Во взаимно перпендикулярных площадках (точки К, М) нормальные напряжения равны по величине и противоположны по знаку.

Рисунок 7 – Напряженное состояние чистого сдвига

Рассмотрим плоское напряженное состояние. Представим себе растянутый стержень, подвергнутый кручению. Вырезанный из него бесконечно маленький кубик с приложенными напряжениями показан на рисунке 8.

Рисунок 8 – Напряжения на гранях кубика и на площадке под углом α

Нормальное напряжение σ совпадает с продольной осью стержня z. Напряжения σ и τ вычисляются по известным формулам растяжения и кручения. Если составить уравнения равновесия для треугольной призмы, можно получить выражения для напряжений σ_α и τ_α в площадке, расположенной под углом α к поперечному сечению стержня. Из условия равенства нулю касательных напряжений в главных площадках, можно найти угол α₀, показывающий расположение одной из главных площадок.

(4)

Значения главных напряжений вычисляются по формуле

(5)

На круговой диаграмме величина 0,5σ показывает расстояние до центра круга от начала координат τ-σ, а второе слагаемое формулы (5) это радиус круга. Максимальное касательное напряжение равно радиусу круга на диаграмме Мора.

(6)

В соответствии с индексацией главных напряжений при знаке плюс в формуле (5) получаем значение σ₁, а при знаке минус – значение σ₃, так как оно отрицательное, а одна грань свободна от напряжений, т.е. σ₂ = 0.

При плоском напряженном состоянии на горизонтальной грани также возможно наличие нормального напряжения (см. рисунок 8). Эти два напряжения можно обозначить σ_z и σ_y. Тогда формулы (4 – 6) запишутся следующим образом.

(7)

(8)