Дисконтування по простій процентній ставці

Основні поняття

Процентні гроші (проценти) – сума, яку платять за користування коштами.

Процентна ставка (такса) – відношення процентних грошей, отриманих за одиницю часу, до величини початкового капітал; виміряється в математичних процентах від величини капіталу або в частках одиниці.

Період нарахування процентів – відрізок часу між двома послідовними процедурами стягування процентів або термін фінансової операції, якщо проценти нараховуються один раз.

Щодо моменту часу нарахування або виплати проценти поділяються на звичайні й авансові.

Звичайні (позичкові, декурсивні, postnumerando) проценти нараховуються наприкінці періоду, авансові (антисипативні, дисконтні, облікові, prenumerando) – на початку (така форма розрахунків називається авансовою формою або обліком).

Розглянутим двом видам процентів відповідають і дві процентні ставки:

- звичайна ставка (декурсивна), rate of interest;

- антисипативна (облікова, дисконтна) ставка (discount of rate).

Обидва види процентів можуть нараховуватись по двох схемах:

- схемі простих процентів, при якій проценти нараховуються тільки на початкову суму;

- схемі складних процентів, при якій проценти нараховуються як на початкову суму, так і на проценти, нараховані раніше.

На практиці для стислості застосовують терміни простих і складних процентів. Так, замість того, щоб сказати: „проценти нараховуються за схемою простих (або складних) процентів”, просто говорять: „прості (або складні) проценти”.

Звідси випливає, що як позичкові, так і авансові проценти можуть бути і простими, і складними. Цей факт ілюструє малюнок

 

 

Визначення майбутньої вартості грошей за рахунок нарахування процентів називається нарощенням грошей або компаудингом; зворотна операція – визначення дійсної вартості майбутніх грошей – називається дисконтуванням.

Останнім часом широке поширення одержали наступні позначення величин у фінансовій математиці, якими ми будемо користуватись:

PV – дійсна вартість грошей(present value);

FV – майбутня або нарощена вартість грошей (future value);

I – прості проценти;

D – авансові проценти;

i – звичайна процентна ставка;

d – дисконтна процентна ставка.

ПРОСТІ ПРОЦЕНТИ

Нарощення по простій процентній ставці

 

Позичкові проценти

Оскільки прості проценти нараховуються тільки на початкову суму, проценти I₁, нараховані за одиницю часу, дорівнюють:

(2.1)

I₁ = PV · i

 

Тому нарощена вартість грошей за n періодів є

FV = PV + PV · i + … + PV ·I = PV + PV · n · I = PV (1+ ni)

тут

PV · n · i = I_n

Проценти за n періодів.

Таким чином,

 

Якщо процентна ставка перемінна, а саме, протягом n₁ періодів процентна ставка дорівнює i₁, протягом n₂ періодів процентна ставка дорівнює i₂, протягом n_k періодів процентна ставка дорівнює i_r, то формула (2.2) прийме вигляд:

Формула (2.3) – це формула для обчислення нарощеної суми грошей у випадку використання схеми простих процентів при перемінній процентній ставці.

Розрахунки з заданим числом періодів зустрічаються рідко. Частіше задається річна ставка і і термін операції, виражений у днях, рідше – у місяцях.

Позначимо термін реалізації через t (time), тривалість року, виражену в тих же одиницях, через y (year). Тоді формула (1.2) прийме вигляд:

де

I = · i · PV

- проценти за час t. У цьому випадку t i y можуть бути обчислені як точно, так і приблизно, відповідно до таблиці 2.1. У фінансових розрахунках, як правило, за звітний період приймається рік.

В залежності від сполучення t i y можуть бути наступні способи розрахунків.

1) Англійська практика: t i y виміряні точно. Метод називається вирахуванням точних процентів з фактичним терміном операції. Для визначення t користуються таблицею порядкових номерів днів у році: з номера дня закінчення операції віднімають день її початку, якщо день видачі і день погашення позички вважається за 1 день.

2) Французька практика: t виміряно точно, а y – приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів з фактичним терміном операції. У цьому випадку проценти виходять більшими, ніж у першому, тому що знаменник дробу дорівнює 360, а не 365 або 366. Звичайно по такому принципу ведуться банківські операції.

3) Німецька практика: t i y виміряні приблизно. Метод називається нарахуванням звичайних (комерційних) процентів з наближеним терміном операції. З застосовується при деяких розрахунках з населенням.

Випадок, коли t виміряно приблизно, а y – точно, на практиці не використовується.

Таблиця 2.1.

Можливі сполучення t i y.

Показник Вимір	t	y
Точний	Фактично днів у місяці	Фактично днів у році (365 або 366)
Наближений	Число днів у всіх місяцях дорівнює 30	Тривалість року дорівнює 360

 

Важливим поняттям фінансової математики є прибутковість фінансової операції, під якою розуміється процентна ставка за період. Формула (2.4) є вихідною для виведення базової формули ставки прибутковості фінансової операції. З (2.4) одержуємо:

(2.5)

i =

 

Дисконтування по простій процентній ставці

Позичкові проценти

Означення дійсної вартості майбутніх грошей називається дисконтуванням (на відміну від компаудинга). Дійсна вартість залежить, насамперед, від застосовуваної схеми нарахування процентів.

Для випадку простих процентів з формул (2.2) і (2.4) одержуємо:

або

Доход або проценти при цьому дорівнюють:

Авансові проценти

 

Дисконтування за формулами (2.7) називається математичним дисконтуванням або обліком. На практиці частіше користуються банківським дисконтуванням або комерційним обліком. При цьому використовується річна дисконтна (авансова) ставка d.

Банківський облік дисконтного цінного папера полягає для власника в достроковій її реалізації, а для банку – у придбанні нижче номіналу і визначенні її вартості на момент дострокової реалізації.

У цьому випадку проценти нараховуються на суму, що підлягає до сплати наприкінці терміну операції. Для виведення формули напишемо співвідношення між дійсною і майбутньою вартостями одиниці грошей:

Використовуючи правило пропорції, одержуємо за одиницю часу:

звідки PV = FV(1-d).

За n періодів або час t:

 

Звідси природньо виходять формули нарощення грошей по дисконтній ставці:

Приклад. Дата погашення дисконтного векселя 30 червня поточного року. Яка його викупна ціна і дисконт на 12 червня, якщо його номінал 100 тис. грн.? Вексельна процентна ставка – 40 %.

Складні проценти