Рассмотрим некоторые линейные преобразования дифференциала
;
;
.
Дифференциал аргумента на измениться, если к аргументу прибавить постоянное число, то есть
.
, ;
, ;
, где .
Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала и вносить под знак дифференциала.
;
.
При умножении аргумента, стоящего под знаком дифференциала, на постоянное число, дифференциал изменяется во столько же раз, что и постоянное число.
Чтобы величина дифференциала аргумента не изменилась, при умножении аргумента на , где , необходимо сам дифференциал умножить на дробь, обратную , то есть на
.
Пример 5. Найти .
Решение
.
При решении применяли линейное преобразование дифференциала (3) и формулу интегрирования (6).
Пример 6. Найти .
Решение
.
При решении применяли линейное преобразование дифференциала (3) и формулы интегрирования (4), (5), (7).
Пример 7. Найти .
Решение
Этот интеграл приводится к табличному (10)
.
Выполним некоторые преобразования
.
Пример 8. Найти
Решение
Этот интеграл приводится к табличному
|
|
.
Выполним некоторые преобразования
Ошибка! Ошибка связи.
.
Мы разобрали простейшие примеры, в которых функции могли быть выражены путем несложных преобразовании в виде, позволяющим применить для нахождения интеграла основные табличные формулы.
Для закрепления этого способа необходимо решить следующие примеры
1) Найти Ответ:
2) Найти Ответ:
3) Найти Ответ:
4) Найти Ответ:
5) Найти Ответ:
6) Найти Ответ:
Второй способ – способ подстановки.
Если заданный интеграл простейшими преобразованиями трудно привести (или совсем нельзя привести) к табличному, то для его отыскания применяются особые приемы. Одним из них является интегрирование способом подстановки. В основе метода подстановки лежит введение новой переменной, затем дифференцирование этой постановки, замена в искомом интеграле всего через новую переменную, а только потом использование основных формул интегрирования. После того, как нашли интеграл, опять возвращаемся к старой переменной.
Пример 9. Найти .
Решение
Положим,
,
где - новая переменная.
Возьмем дифференциал от обеих частей равенства
.
Получим
,
,
.
Заменив в искомом интеграле и их найденными значениями и применив формулу (2)
будем иметь
.
Но ответ должен быть представлен как функция от переменной , поэтому, подставив вместо его значение из подстановки, получим
.
Пример 10. Найти .
Решение
Введем подстановку
.
Продифференцируем равенство
,
получим
.
Подставим в подынтегральное выражение
.
Пример 11. Найти .
Решение
Обозначим
.
Продифференцируем
,
|
|
,
.
Подставив в подынтегральное выражение вместо и их значения, заменив корень степенью с дробными показателями, а затем, введя отрицательный показатель и применив формулу интеграл степени, получим
.
Перейдя к прежней переменной , получим
.
Пример 12. Найти .
Решение можно записать короче
,
,
.
.
Пример 13. Найти .
Решение
Положим
,
продифференцируем
,
,
.
Заменив в искомом интеграле и их найденными значениями и применив свойство (3) и формулу (4), получим
.
Пример 14. Найти
Решение
Вводим подстановку
,
продифференцируем это равенство
,
.
Поставим вместо и в искомый интеграл
.
Замечание. Если подынтегральное выражение содержит и одного и того же аргумента, причем одна из функций входит в какой-либо степени, то через новую переменную обозначают первую степень той функции, которая входит в степени.
При решении способом подстановки важно правильно выбрать подстановку, а для этого недостаточно простого знания формул, нужен еще опыт, который накапливается постоянно в процессе решения примеров.
Нужно устно выбранную подстановку продифференцировать и посмотреть остальное выражение в подынтегральном выражении можно ли заменить через новую переменную. Если можно, то выбранную подстановку верно выбрали. Если нет, то нужна другая подстановка. Запись решения следует производить так:
Пример 15.
.
Пример 16.
.
Пример 17.
.
Для закрепления интегрированием способом подстановки, необходимо решить следующие примеры:
Найти
1) Ответ: ;
2) Ответ: ;
3) Ответ: ;
4) Ответ: ;
5) Ответ: ;
6) Ответ: .