Передаточные функции и понятие аналогов

При исследовании механизмов часто пользуются безразмерными параметрами или величинами, называемыми передаточными функциями (или параметрами в относительных единицах).

Передаточной функцией называется производная от перемещения ведомого звена по перемещению ведущего звена (или обобщенной координате) или точки механизма.

Передаточная функция обозначается буквой i с цифровыми индексами от какого звена к какому. Например i2-1 обозначает передаточную функцию от звена 2 к звену 1.

Рассмотрим следующие примеры.

І. Ведомое звено совершает поступательное движение, ведущее - вращательное. В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм (рис. 1). Определим передаточную функцию от звена 3 (ползуна) к звену 1 (кривошипу)

ds3 dsA

i3-1 =.

Умножим и разделим правую часть уравнения на бесконечно малую величину dt:

	dS3 dtV3V3 _ dSA dt VA ω1lOA

dS3 dt . dV3d²S3 dt dt² dS3 dt i3-1 = · = A 1 2 ω1 3. O φ1 B S3 Рисунок 1 – Кривошипно-ползунный механизм

.     Таким образом получаем, что передаточная функция от звена 3 к звену 1 равна отношению ли­нейных скоростей точек соответствующих звеньев механизма. При поступательном движении ведомого звена и заданном вращательном движении веду­щего при кинематическом исследовании механизма необходимо определить: перемещение ведомого звена S3 = f1(t), скорость ведомого звена   V3 = f2(t) = и ускорение звена a = f3(t) = = S - перемещение, координата, отсчитываемая от ка­кого-то положения звена, t - время. Значение скорости ведомого звена легко определить, выполнив следующую операцию. Разде-   лим и умножим на бесконечно малую величи-

ну dφ1 - угловое перемещение ведущего звена.

	dS3dφ1 dφ1 dt dφ1 dt

V3 = ·; = ω1 - угловая скорость ведущего звена.

dS3 dφ1

dS3 dφ1

V3 = ·ω1; - передаточная функция перемещения ползуна по перемеще-

нию начального звена.

Эта функция получила название аналога линейной скорости, т.к. при ω1 = const

V3 = f2(t) две функции, изменяющиеся по аналогичным законам. Если изобразить

dS3 dφ1

графики этих функций, то они будут подобны (аналогичны), только масш-

= f 4(t) табы у них будут разные.

Определим линейное ускорение:

dS3 dφ1

dS3 dt

dV3 dt

a3 =; V3 = = ·ω1; S3 = f [φ1(t)] - сложная функция.

Берем производную от сложной функции:

		d²S3dφ1 dφ1 dt		dS3dω1d²S3 dφ1 dt dφ1

²

²

a3 = [ ·ω1] = · ·ω1 + · = ·ω1 + ·ε1.

	dω1 dt

При ω1 = const, угловое ускорение звена ε1 = = 0, тогда:

	d²S3 dφ1

²

²

a3 = · ω1, где – аналог линейного ускорения, функция, изменяющаяся

	d²S3 dt²

аналогично.

ІІ. Ведущее звено и ведомое совершают вращательное движение. В качестве примера рассмотрим шарнирный четырехзвенник (рис. 2). Определим передаточную функцию от звена 3 (коромысла) к звену 1 (кривошипу):

dω3d²β3 dt dt² dβ3 dt dφ1 dt dβ3 dt dβ3 dφ1 ω3 ω1 B A 2 1 3 ω1 φ1 β3 O1 O2 Рисунок 2–Шарнирный четырехзвенник

i3-1 = = · =. Передаточная функция в этом случае равна отношению угловых скоростей ведомого и ведущего звеньев. При вращательном движении ведомого звена и заданном вращательном движении ведущего при кинематическом исследовании необходимо определить: угловое перемещение ведомого звена β3 = f1(t), угловую скорость ведомого звена   ω3 = = f2(t) и угловое ускорение ведомого звена   ε3 = f3(t) = =.

β3 - угловое перемещение ведомого (выходного) звена, отсчитываемое от некоторого начального положения.

Определим угловую скорость ведомого звена:

dφ1 dt

dβ3 dφ1 dβ3 dt dφ1 dφ1

dβ3 dt

ω3 = = · = ·ω1; = ω1 - угловая скорость ведущего звена.

dβ3 dφ1

- передаточная функция или аналог угловой скорости ведомого звена.

Определим угловое ускорение:

	dω3d²β3dβ3 dt dt² dφ1 t

ε3 = = = ·ω1; β3 = f[φ1(t)] – сложная функция.

d²β3dφ1 dβ3dω1 d²β3 dβ3 dφ1² dt dφ1 dt dφ1² dφ1

ddβ3 dt dφ1

ε3 = (·ω1) = · ·ω1 + · = ·ω1² + ε1·.

	dω1 dt

d²β3 dφ²

d²β3 dφ²

При ω1 = const; ε1 = = 0, тогда:

1

1

ε3 = ·ω1², где - аналог углового ускорения.