Теорема Грасгофа

В зависимости от наличия или отсутствия кривошипа шарнирный четырехзвенник может быть трех видов: 1) кривошипно-коромысловый, 2) двухкривошипный, 3) двухкоромысловый. Условия существования кривошипа в шарнирном четырехзвеннике впервые были сформулированы Грасгофом (1826 – 1893) в следующем виде: «Шарнирная четырехзвенная цепь может только тогда образовывать кривошипно – коромысловый или двухкривошипный механизм, когда сумма длин наибольшего и наименьшего звеньев меньше суммы длин двух других звеньев». При закреплении наименьшего звена механизм будет двухкривошипным, а при закреплении одного из соседних с ним звеньев – кривошипно-коромысловым (причем наименьшее звено будет кривошипом). Во всех иных случаях из цепи получаются двухкоромысловые механизмы.

Для доказательства этих условий рассмотрим кривошипно – коромысловый механизм в трех особых положениях (рис.5).

а) б) в) b c b c b c a a d d a d Рисунок 5 – Кривошипно – коромысловый механизм в особых положениях

В первом положении (рис. 5а) из условия, что в треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон, имеем:

а + d < b + c. (1)

Аналогично, для второго положения (рис.5б):

a + b < c + d. (2)

Для третьего положения (рис. 5в):

c < b + d – a или a + c < b + d. (3)

Складывая неравенства (1) и (2), получаем:

2a + b + d < 2c + b + d, т.е. a < c.

Складывая неравенства (1) и (3), получаем:

2a + c + d < 2b + c + d, т.е. a < b.

Складывая неравенства (2) и (3), получаем:

2a + b + c < 2d + b + c, т.е. a < d.

Следовательно, кривошип а есть наименьшее звено. Кроме того, все необходимые неравенства (1), (2) и (3) удовлетворяются, если сумма длин наименьшего а и наибольшего b, или с, или d звеньев меньше суммы длин двух других звеньев.

В кривошипно – коромысловом механизме углы между стойкой и кривошипом, а также между шатуном и кривошипом изменяются от 0 до 360°. Следовательно, если в кривошипно – коромысловом механизме сделать стойкой звено а, то получится двухкривошипный механизм с кривошипами b и d. Во всех остальных случаях кривошипа нет, т.е. механизм будет двухкоромысловым.