Конструирование «золотого» равнобедренного треугольника, пентагона и додекаэдра

С какой целью Евклид ввел Предложение 2.12? Ответ на этот вопрос мы находим в статье [2]. Как показано в [2], Евклид использовал «Принцип Золотого Сечения», заложенный в «задаче о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», для конструирования «золотого» равнобедренного треугольника, а затем «пентагона» и «додекаэдра».

Евклид конструирует «золотой» прямоугольный треугольник следующим образом (Рис.3). Возьмем отрезок AB и найдем на нем точку C, которая делит отрезок в «золотом сечении». После этого проведем дугу радиусом AB с центром в точке А. Найдем на дуге такую точку D, чтобы AC = CD = BD. Тогда треугольник ABD и будет искомым «золотым» равнобедренным треугольником, в котором углы при основании BD (72°) будут равны удвоенному значению угла при вершине А (36°).

Рисунок 3. Геометрическое построение «золотого»
равнобедренного треугольника

Используя это геометрическое построение, Евклид затем строит «пентагон». Исходным для построения «пентагона» является «золотой» равнобедренный треугольник ABD (Рис. 3). Проведем окружность через точки A, B и D (Рис.4). Проведя биссектрису угла ADB до пересечении с этой окружностью в точке Е, мы найдем четвертую вершину Е «пентагона». Заметим, что биссектриса DE проходит через точку С, которая делит отрезок AB в «золотом сечении». Аналогично, проведя биссектрису BF угла ABD до пересечения с окружностью в точке F, мы найдем пятую вершину F «пентагона», после чего можно нарисовать «пентагон» (Рис.4)

Рисунок 4. Геометрическое построение пентагона

Используя «пентагон» на Рис.4, Евклид затем строит «додекаэдр» (Рис.5). Важно подчеркнуть, что Евклид строит две «сакральные» фигуры, которые играли важную роль в учениях Пифагора и Платона. Как известно, «пентаграмма», которая лежит в основе «пентагона», являлась главным «сакральным» символом Пифагорейского союза, а «додекаэдр» в космологии Платона считался главным из пяти «Платоновых тел» и символизировал Гармонию Мироздания. Как подчеркивает Э.М. Сороко [3], «представление о «сквозной» гармонии бытия неизменно связывалось с ее воплощением в этих пяти симметричных геометрических телах, выражающих идею повсеместного совершенства мира вследствие совершенства каждой из составляющих его «стихий», «начал».

Рисунок 5. Додекаэдр

Как известно, геометрическую теорию Платоновых тел Евклид разместил в последней, то есть XIII-й книге своих «Начал». Многие комментаторы считают, что это не является случайным совпадением. Обычно принято размещать наиболее важный материал научного сочинения в заключительной части книги. В частности, древнегреческий математик Прокл, который был одним из наиболее известных комментаторов Евклида, на том основании, что теорию «Платоновых Тел» Евклид разместил в заключительной части своего знаменитого сочинения, утверждает, что Евклид создавал «Начала» не с целью изложения геометрии как таковой, а чтобы дать полную систематизированную теорию построения пяти «Платоновых Тел», попутно осветив некоторые новейшие достижения математики. А поскольку в космологии Платона, «правильные многогранники» символизировали Гармонию и Принципы Мироздания, то из утверждения Прокла вытекает, что «Начала» Евклида можно рассматривать как исторически первый вариант «Геометрической Теории Гармонии», основанной на «золотом сечении» и «Платоновых Телах».

В настоящее время большинство комментаторов Евклида сходятся в том, что «Начала» Евклида не представляют собой, однако, оригинальное сочинение. Поэтому возникает вопрос: кто изучал «золотое сечение» до Евклида? Как утверждается в статье [2], «книга II Начал содержит материал, впервые изучавшийся Теодором из Кирены (Theodorus of Cyrene), в то время как другие историки приписывают этот материал Пифагору или, по крайней мере, пифагорейцам». По словам Ван-дер-Вардена [4], «Начала» Евклида на 2/3 написаны пифагорейскими математиками. Как подчеркивается в книге [3], Евклид разместил в своих «Началах» наиболее значительные математические результаты своего времени, и потому его «Начала» являются своеобразным «нерукотворным» памятником Пифагору, Гиппократу (Хиосскому), Евдоксу (Книдскому), Архиту, Теэтету и другим древнегреческим математикам. И это мнение Ван-дер-Вардена и Сороко является дополнительным свидетельством того факта, что Предложение 2.11, задающее «задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении», скорее всего, принадлежит пифагорейцам, то есть пифагорейцы также были знакомы с «Принципом Золотой Пропорции».

Уже сам факт, что пифагорейцы выбрали «пентаграмму», нашпигованную «золотыми сечениями», в качестве главного символа своего союза, является еще одним свидетельством того, что пифагорейцы знали и почитали «золотое сечение». Именно такой вывод делает в одной из своих книг [5] доктор философских наук, кандидат физико-математических наук, профессор А.В. Волошинов, возглавляющий кафедру культурологии Саратовского государственного технического университета. В статье «Пифагор» [5] он пишет следующее:

«Особое внимание пифагорейцы уделяли пентаграмме – пятиконечной звезде, образованной диагоналями правильного пятиугольника. В пентаграмме пифагорейцы обнаружили все известные в древности пропорции: арифметическую, геометрическую, гармоническую, а также знаменитую золотую пропорцию, или золотое сечение. Совершенство математических форм пентаграммы находят отражение в совершенстве ее формы. Пентаграмма пропорциональна и, следовательно, красива. Видимо именно благодаря совершенной форме и богатству математических форм пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа здоровья и тайного опознавательного знака. С легкой руки пифагорейцев пятиконечная звезда и сегодня является символом многих государств и реет на флагах едва ли не половины стран мира».

Таким образом, по мнению проф. Волошинова, которого трудно обвинить в дилетантизме и незнании «первоисточников», «принцип золотого сечения» был известен пифагорейцам.