1. Пусть функция z=f (x; у) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x; у) вместе со своими частными производными (х; у), (х; у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+ ;у+ ) принадлежала рассматриваемой окрестности.
Если полное приращение функции z=f (x; у) в точке М (x; у)
= f (x+ ; у + )- f (x; у)
можно записать в виде
= (х; у) + (х; у) + ,
где - бесконечно малые функции при , , то функция z=f (x; у) называется дифференцированной в точке М (x; у), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается
dz= + .
Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх= , dу= . Поэтому
dz= dх + dу,
или в других обозначениях
dz= dх + dу.
Для функции трёх переменных и= f (x; у; z)
dи= dх + dу+ dz.
Полный дифференциал функции z=f (x; у)
dz= dх + dу,
который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.
Дифференциалы второго порядка определяют по формуле
|
|
d2 z= d (dz).
Тогда
d2 z= d ( dх+ dу)= ( dх+ dу) dх+ ( dх+ dу) dу= dх2+ dу dх+
+ dх dу+ dу2,
откуда
d2 z= dх2+ 2 dх dу+ dу2.
Символически это можно записать так:
d2 z= ( dх+ dу)2 z.
Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п -го порядка:
dп z= d (dп-1 z) =( dх+ dу) п z.
2. Производная функции z=f (x; у) в направлении вектора вычисляется по формуле
+ ,
где , - направляющие косинусы вектора :
= , = .
Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора .
Градиентом функции z=f (x; у) называется вектор
grad z= (, ).
Свойства градиента
1. Производная имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно .
2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.
3. Пусть функция z=f (x; у) определена на множестве D и точка М (х ; у ) D. Если существует окрестность точки М , которая принадлежит множеству D, и для всех отличных от М точек М выполняется неравенство
f (М)< f (М0) (f (М)> f (М0)),
то точку М называют точкой локального максимума (минимума) функции z=f (x; у), а число f (М0) - локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума.
Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если функция z=f (x; у) в точке М (х ; у ) имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные , равны нулю или не существуют.
|
|
Точки, в которых = = 0, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называются критическими.
Поэтому функция может достигать экстремальных значений только в критических точках; однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пусть в стационарной точке М (х ; у ) и некоторой её окрестности функция z=f (x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Введём обозначения:
А= (х ; у ), В= (х ; у ), С= (х ; у ), = АС-В2.
Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума).
1. Если >0, то функция z=f (x; у) в точке М имеет экстремум, причём максимум при А <0 и минимум при А >0.
2. Если <0, то в точке М нет экстремума.
Для случая, когда количество переменных п >2, пользуются такой теоремой.
Теорема 5.3 Функция и = f (х ;...; х ) имеет минимум в стационарной точке М , если дифференциал второго порядка этой функции в точке М положителен d2f (М )>0, и максимум, если d2f (М )<0.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
z= (х+ 2)2+(у -1)2.
Решение.
Функция имеет одну критическую точку М (-2;1).
А= 2, В= 0, С= 2,
= АС-В2 = 2*2-02= 4>0, А >0.
Значит, в точке М (-2;1) функция имеет минимум: min z=z (-2;1)=(-2+2)2+(1-1)2=0.