Интеграл – одно из центральных понятий математики. Оно возникло в связи с двумя задачами: 1) о восстановлении функции по её производной; 2) о вычислении площади криволинейной трапеции. Эти задачи приводят к двум связанным между собой видам интегралов: определённого и неопределённого. Термин ”интеграл” ввёл Якоб Бернулли в 1690 году.
1. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на некотором промежутке, если во всех точках этого промежутка выполняется равенство F’ (x)= f (x).
Например. первообразными функции f (x)=3 х 2 будут функции х 3, х 3+1, х 3+0,5 и вообще F (x)= х 3+ С, где С – произвольная постоянная, поскольку F’ (x)=(х 3+ С)’=3 х 2. Этот пример показывает, что если функция f (x) имеет одну первообразную, то она имеет их бесконечно много. Возникает вопрос: как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них? Ответ даёт такая теорема.
Теорема 6.1 Если F (x) – первообразная функции f (x) на некотором промежутке, то всякая другая первообразная функции f (x) на этом промежутке имеет вид F (x) + С, где С – произвольная постоянная.
|
|
Множество всех первообразных F (x) + С функции f (x) называют неопределённым интегралом функции f (x) и обозначают . Таким образом, по определению
= F (x) + С, если F’ (x)= f (x).
При этом f (x) называют подынтегральной функцией, f (x) dх – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак - знаком интеграла, С – постоянной интегрирования.
Операцию нахождения первообразной функции f (x) называют интегрированием этой функции.
Операции дифференцирования и интегрирования являются обратными по отношению друг к другу.
Возникает вопрос: для каждой ли функции f (x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл? Оказывается не для каждой. Но справедлива такая
Теорема 6.2. Всякая непрерывная на промежутке [a;b] функция имеет на этом промежутке первообразную.
СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА
1. ()’= f (x).
2. = F (x) + С.
3. d = f (x) dх.
4. = .
5. Если = F (x) + С и и = - произвольная функция, которая имеет непрерывную производную, то
= F (и) + С.
В частности,
= F (a x+b) + С.
Из очень важного свойства 5 следует, что таблица интегралов остаётся верной независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или произвольной дифференцированной функцией. Таким образом, из одной формулы можно получать много других.
Пример.
= + С = = + С, = = + С, = + С.
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. .
2.
3. а >0, .
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Непосредственным интегрированием называют вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределённого интеграла и таблицы интегралов.
|
|
Пример.
Метод подстановки является одним из основных методов интегрирования. Больше того, изучение методов интегрирования в основном сводится к выяснению того, какую подстановку надо сделать в том или ином случае.
Пример.
Этот пример можно было бы решить и так:
Такой метод интегрирования называется методом введения функции под знак дифференциала.
3. Пусть и (х), v (x) – функции, которые имеют на некотором промежутке непрерывные производные. Тогда
d (uv) = udv + vdu
или
udv= d (uv) – vdu.
Интегрируя это равенство, получим
или, учитывая свойство 2 неопределённых интегралов,
.
Эту формулу называют формулой интегрирования по частям.
Укажем некоторые интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:
1) в интегралах , где k – натуральное число, за и следует брать хk, а за dv – выражение, которое осталось;
2) в интегралах , следует обозначать dv= хkdx.
Неопределённый интеграл существует для произвольной непрерывной функции f (x), то есть = F (x) + С. Но при этом не всегда первообразная F (x) является элементарной функцией. О таких интегралах говорят, что они ”не берутся”. Например,
= F (x) + С, где F (x) = х - + - +....
Не берутся такие интегралы:
- интегральный логарифм, - интегральный синус, - интегральный косинус, , - интегралы Френеля и другие.
В связи с этим важно выделить такие классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции. Одним из таких классов функций, интегралы от которых всегда ”берутся”, является класс рациональных функций.