1. Рациональной функцией или рациональной дробью называют дробь
где Рт (х), Qn (x) – многочлены степени т и п:
Qn (x) = хп+ хп -1+...+ , Рт (х) = хт+ хт -1+...+ .
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя т< п, и неправильной, если т п.
Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.
Различают четыре вида элементарных дробей:
І. , ІІ. , ІІІ. , ІV. ,
где п= 2,3,..., а трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней, то есть D=р2- 4 q< 0.
Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.
І.
ІІ.
ІІІ. Пример.
--- = - .
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn (x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители
Qn (x) = (х-х ) k … (х-хr) k (x2+p x+q ) l …(x2+p x+q ) l ,
|
|
где , х , p , q - действительные числа; k , I - натуральные числа; k +…+ k + 2(I +…+ I )= n, р 2- 4 q < 0.
Рассмотрим правильную рациональную дробь
знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:
1) множителю (х-а) k соответствует сумма дробей вида
+ +…+ ;
2) множителю (x2+px+q) I соответствует сумма дробей вида
+ +…+ ,
где А , М , N - неопределённые коэффициенты.
Искать эти неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение.
+ ,
х+ 5= А (х+2)+ В (х+ 1),
А= 4, В =-3.
= 4 -3 = 4ln -3ln + C.
3. 1. Интегралы вида
где R (х, у) – рациональная функция относительно х и у, , сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ax+b=t .
2. Интегралы вида
где R – рациональная функция, p , q - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
=t ,
где п – общий знаменатель дробей , ,….
3. Интегралы вида
(6.1)
всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки
, , ,
х= 2arctg t, dx= .
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.
|
|
1) Если в интеграле (6.1) R (-sin x, cos x)= - R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если R (sin x,-cos x)= - R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если R (-sin x, -cos x)= R (sin x, cos x), то удобно делать подстановку
tg x=t, , ,
х= arctg t, dx= .
4. Рассмотрим более детально интегралы вида
,
где т, п – целые числа.
1) Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.
2) Если п – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.
3) Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам
, .
4) Для нахождения интегралов вида
,
удобно пользоваться формулами
5. В интегралах
, , ,
надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул