Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

1 2 3 4 5 6

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Имени М.А. Шолохова

Факультет информатики и математики

Кафедра высшей математики

Курсовая работа по теме:

«Элементы векторного анализа»

Выполнила:

студентка IV курса группы ФИМ-М-1402

очного отделения

специальность «математика»

Шакурова Н.Н.

Проверила:

доцент Дорошкевич О.А.

Москва 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

§1. Криволинейный интеграл I рода

§2. Криволинейный интеграл II рода

§3. Поверхностный интеграл I рода

§4. Поверхностный интеграл II рода

§5. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса

Глава II. Теория поля

§1. Основные понятия теории поля

§2. Скалярное поле

Производная скалярного поля по направлению

Градиент скалярного поля

§3. Векторное поле и его циркуляция

Поток векторного поля

Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме

Вихревой вектор поля. Формула Стокса в векторной форме

§4. Специальные векторные поля

§5. Оператор Лапласа. Гармонические функции

Глава III. Практическая часть.

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Для описания физической реальности математикам стало не доставать основных типов чисел (целые, рациональные, иррациональные, комплексные, …). Чтобы иметь возможность для некоторых величин указывать не только их числовое значение, но и направление, было введено понятие вектора как направленного отрезка. Следовательно, вектор – абстракция математических объектов, характеризующихся модулем и направлением. Примерами физических векторных величин являются перемещение, скорость, ускорение, напряженность электрического ил магнитного поля.

Сам термин «вектор» (от лат. vector – несущий) впервые появился у Гамильтона в 1845г. В работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат термины «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение».

После введения понятия вектора были более детально разработаны правила операций над векторами, что привело к появлению сначала векторной алгебры, а затем и векторного анализа. Векторная алгебра изучает простейшие операции над векторами. Она стала своеобразным языком аналитической геометрии. Векторный анализ изучает векторные и скалярные поля. Основными понятиями векторного анализа являются «градиент», «дивергенция», «ротор» («вихрь») и «лапласиан».

Многие результаты векторного исчисления получены Германом Грассманом и английским математиком Уильямом Клиффордом. Окончательный вид векторная алгебра и векторный анализ приобрели в трудах американского физика и математика Джозайн Уилларда Гиббса, который в 1901г. Опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Следует отметить, что в ясно очерченном виде векторная алгебра появилась примерно на 30 лет позже первых работ по теории кватернионов (это числа, каждое из которых определяет величину и направление в пространстве). Гиббс показал связь векторной алгебры с теорией кватернионов и алгеброй Грассмана. Он был большим энтузиастом распространения векторного исчисления в различных областях точных наук.

Понятие вектора может быть введено аксиоматически, тогда вектор будет пониматься как элемент векторного пространства. Развитием понятия «вектор» можно считать понятие «тензор».

Тензорное исчисление — раздел математики, изучающий тензоры и тензорные поля. Тензорное исчисление разделяется на тензорную алгебру, входящую в качестве основной части в полилинейную алгебру, и тензорный анализ, изучающий дифференциальные операторы на алгебре тензорных полей. Тензорное исчисление является важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии. В этой связи оно впервые систематически было развито Дж.Риччи и Т.Леви-Чивитой, его часто называли «исчислением Риччи».

Термин «тензор» еще с середины XIXв. употребляется в механике при описании упругих деформаций тел. С начала XX в. аппарат тензорного исчисления систематически используется в релятивистской физике.

Изучение векторного анализа сводится к изучению дифференциального и интегрального исчисления, включающего криволинейные и поверхностные интегралы, их основные свойства и понятия; а также теорию поля, которая является обобщением основных понятий векторного анализа.

Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные векторные и тензорные поля. Теория поля устанавливает и исследует связи между величинами, характеризующими поле.

Следовательно, мы можем выделить основную цель нашей работы: рассмотрение важнейших операций векторного анализа — градиента, ротора, циркуляции и дивергенции, а также наиболее важных теорем векторного анализа — формулы Грина, теоремы Стокса, формулы Остроградского-Гаусса.

Ученые, занимавшиеся исследованием векторного анализа:

ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (Hamilton William Rowan)

Гамильтон Уильям Роуан (04.08.1805-02.09.1865)-ирландский математик, член Ирландской Академии Наук. Родился в Дублине. К 17 годам он изучил "Начала" Евклида, а также сочинения И. Ньютона и П.Лапласа. Окончил Тринити – колледж Дублинского университета, в 22 года стал профессором астрономии в Дублинском университете и директором университетской астрономической обсерватории. Основные труды по механике и теории дифференциальных уравнений (Гамильтона-Остроградского-Якоби уравнение) и функциональному анализу, где важную роль играет оператор Гамильтона («набла»). Открыл вариационный принцип в механике, который был обобщен М.В.Остроградским. Гамильтон почти одновременно с немецким математиком Г. Грассманом дал точное формальное изложение теории комплексных чисел как частного случая числовых систем с несколькими единицами. Построил своеобразную систему чисел (кватернионов). Над теорией кватернионов Гамильтон трудился 8 лет. Это учение в дальнейшем было одним из источников развития векторного анализа. Гамильтон ввел термины "вектор", "ассоциативный закон". Известны работы Гамильтона в геометрии (где он занимался теорией волновых поверхностей) и алгебре. Гамильтон и Кэли разработали теорию матриц.

ГРАССМАН Герман Гюнтер (Grassmann Hermann Günter)

Грассман Герман Гюнтер (15.04.1809—26.09.1877) – немецкий математик, занимавшийся также физикой и филологией. Родился в Штеттине. C 1842 работал в Штеттинской гимназии. В сочинении "Учение о линейном протяжении" ("Lineale Ausdehnungslehre", Lpz., 1844) дал первое систематическое построение учения о многомерном евклидовом пространстве, способствовавшее развитию векторного и тензорного исчислений. Однако из-за абстрактного изложения и необычайной терминологии сочинение было малодоступным. В области физики Грассману принадлежат работы по акустике и магнитному взаимодействию токов. Общие идеи Грассмана об абстрактных векторных пространствах привели его к открытию важного положения - возможности рассматривать цветовые ощущения как трехмерные векторы, что лежит в основе современного учения о цвете. Им установлены (1853) законы сложения цветов. Грассман составил (1875) полный словарь к гимнам Ригведы (памятнику древнеиндийской литературы).

ГИББС Джозайя Уиллард (Gibbs, Josiah Willard)

Американский физик и математик Гиббс Джозайя Уиллард (11.02.1839–28.04.1903) родился в Нью-Хейвене, штат Коннектикут. Он окончил Йельский университет, где его успехи в греческом, латыни и математике были отмечены призами и премиями. В 1863 г. Гиббс получил степень доктора философии и стал преподавателем университета; первые два года преподавал латынь и лишь затем – математику. В 1866–1869 гг. Гиббс продолжил образование в Сорбонне и Коллеж де Франс в Париже, в Берлинском и Гейдельбергском университетах. После возвращения в Нью-Хейвен возглавил кафедру математической физики Йельского университета и занимал её до конца жизни.

Разработал теорию термодинамических потенциалов, открыл общее условие равновесия гетерогенных систем правило фаз, вывел уравнения Гиббса Гельмгольца, Гиббса Дюгема, адсорбционное уравнение Гиббса. Установил фундаментальный закон статистической физики распределение Гиббса. Предложил графическое изображение состояния трехкомпонентной системы (треугольник Гиббса). Заложил основы термодинамики поверхностных явлений и электрохимических процессов. Ввел понятие адсорбции. Является также одним из создателей векторного исчисления в его современной форме ("Элементы векторного анализа", 1881- 1884).

ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Васильевич

Михаил Васильевич Остроградский (12.11.1801–20.12.1861) — российский и украинский математик и механик, признанный лидер математиков Российской империи середины XIX века. Родился в деревне Пашенная Полтавской губернии, в семье помещика. Получил первоначальное образование в пансионе при полтавской гимназии. Окончил курс математического факультета в Харьковском университете; затем посещал в Париже лекции в Сорбонне и в College de France. Здесь он обратил на себя внимание знаменитых математиков Лапласа, Фурье, Ампера, Пуассона, Коши. По возвращении из Санкт-Петербурга он в 1828 г. избран был адъюнктом Академии Наук, через два года - ординарным академиком. Преподавал в офицерских классах морского корпуса, в институте инженеров путей сообщения, в главном педагогическом институте, в училищах инженерном и артиллерийском. В военно-учебных заведениях он был главным наблюдателем преподавания по математическим наукам. Основные работы Остроградского относятся к прикладным аспектам математического анализа, механики, теории упругости и магнетизма, теории вероятностей. Он внёс также вклад в алгебру и теорию чисел. Хорошо известен метод Остроградского для интегрирования рациональных функций (1844). В физике чрезвычайно полезна формула Остроградского для преобразования объёмного интеграла в поверхностный. В последние годы жизни Остроградский опубликовал исследования по интегрированию уравнений динамики.

Глава I. Криволинейные и поверхностные интегралы

§1. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L = АВ длины l. Рассмотрим непрерывную функцию f (x; y), определенную в точках дуги L. Разобьем кривую L последовательными точками

А ₀ =А, А ₁, А ₂,... , А _n =В на n дуг

d ₁= А ₀ А ₁, d ₂= А ₁ А ₂,..., d _n= А _n_-1 А _n.

На дуге d_i выберем произвольную точку М_i (t_i; s_i) (i = 1,2,..., n) (рис. 1). Обозначим D l_i длину дуги d_i, а

Составим интегральную сумму функции f (x, y) по кривой L:

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом I рода от функции f (x; y) по кривой L и обозначается

В случае замкнутой кривой L криволинейный интеграл I рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

7˚ Если функция f(x; y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой найдетсяточка (x_c; y_c):

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:

x = x (t), y=y (t), a ≤ t ≤ b, где x (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [ a, b ] функции. Тогда

Пусть кривая L задана явно уравнением:

Пусть кривая L задана в полярных координатах:

Геометрические приложения

v Длина кривой АВ вычисляется по формуле

v Площадь цилиндрической поверхности z=f(x; y) с направляющей АВ и образующей, параллельной Oz, находится

v Масса материальной кривой АВ определяется формулой

v Статистические моменты и координаты центра тяжести кривой АВ определяются по формулам

v Для кривой АВ моменты инерции относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:

§2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА

Пусть на плоскости Oxy задана непрерывная кривая L = АВ и функция P(x; y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую L последовательными точками А ₀ =А, А ₁, А ₂,..., А _n =В в направлении от точки А к точке В на n дуг d _i= с длинами (i = 1,2,..., n). На каждой элементарной дуге d _i возьмем точку (; ) и составим сумму вида:

где

проекция дуги d _i на ось Ox (рис.2).

Определение. Если приδ = интегральная сумма (2.1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек ( ; ), то его называют криволинейным интегралом по координате x (или II рода) от функции P(x; y) по кривой L:

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x; y) по координате y:

где проекция дуги на ось Oy.

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством:

Основные свойства криволинейного интеграла II рода

1˚ При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный:

2˚ Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям:

3˚ Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

4˚ Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается

не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:

x = x (t), y=y (t), a ≤ t ≤ b, где x (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [ a, b ] функции. Тогда

Пусть кривая L задана явно уравнением:

Геометрические приложения

v Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

v Переменная сила на участке АВ равна

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Для того чтобы криволинейный интеграл

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D (область без «дыр»), в которой существуют и непрерывны и необходимо и достаточно, чтобы

Замечание. Криволинейные интегралыI и II рода связаны соотношением

где и – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке M(x; y) с осями Ox и Oy.

§3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА

Пусть S - поверхность в трёхмерном пространстве Oxyz, а f(x; y; z) - непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS₁, ΔS₂,...., ΔS_i,..., ΔS_n, не имеющих общих внутренних точек (рис. 3). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами S_i(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков - через λ На каждом "элементарном" участке ΔS_i произвольным образом выберем по точке M_i(x_i; y_i; z_i) (i = 1,...,n) и составим интегральную сумму:

Определение. Если существует конечный предел

не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔS _i и от выбора точек M_i ΔS_i(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом I рода от функции поверхности S и обозначается

Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция f(x; y; z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует (теорема существования).

Основные свойства криволинейного интеграла I рода:

7 ˚ Если непрерывна на поверхности , то на этой поверхности существует точка (теорема о среднем значении):

Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам.

Пусть выполнены условия теоремы существования, тогда, обозначив проекцию ΔS_i (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δτ_i, по теореме о среднем значении будем иметь:

где (x_i, y_i) Δτ_i, а, следовательно

при данном специфическом выборе точек M_i. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции

по плоской области τ. Переходя к пределу, получаем:

Если проектировать поверхность S не на координатную плоскость Oxy, а на координатную плоскость Oxz или Oyz, то можно записать формулы для вычисления поверхностного интеграла аналогично формуле (3.5):