Пусть задано скалярное поле U = f(x; y; z). Градиентом скалярного поля U = f(x; y; z) в точке M(x; y; z) называют вектор
Если функция U = f(x; y; z) имеет частные производные U'x, U'y, U'z в каждой точке некоторой области, то скалярное поле порождает в этой области векторное поле . Преобразуем формулу для вычисления производной по направлению:
Угол между векторами и обозначим через φ, тогда скалярное произведение равно но Значит:
т.е. производная скалярной функции U = f(x; y; z) в точке M в направлении вектора равна проекции на направление вектора
Из формулы () следует, что, когда направление вектора совпадает с направлением вектора , производная по направлению имеет своё наибольшее значение, т. е. вектор , вычисленный в точке М, показывает направление наибольшего возрастания скалярного поля, и скорость его возрастания равна
В направлении, перпендикулярном направлению , как это следует из формулы (), , т. е. в этом направлении из точки М поле не меняется.
Вспомним, что, если поверхность задана уравнением F(x, y, z) = 0, нормаль к поверхности в точке M0(x0,y0,z0) может быть задана уравнением:
|
|
Теперь для скалярной функции U = f(x, y, z) построим поверхности уровня f(x, y, z) = C, тогда уравнение нормали к поверхности уровня в точке M0(x0, y0, z0) запишется:
т.е. имеет направляющий вектор
Следовательно, вектор есть вектор, перпендикулярный поверхности уровня функции U = f(x, y, z).
Свойства градиента функции:
1˚ Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через данную точку.
§3. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ЦИРКУЛЯЦИЯ
Одной из характеристик стационарного векторного поля служат векторные линии.
Векторной называется линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке.
Пусть задано векторное поле
тогда вектор
коллинеарен вектору поля т. е.
Следовательно, уравнение векторных линий поля можно получить, решив систему дифференциальных уравнений:
Найдем работу, которая совершается при перемещении материальной точки М из точки А в точку В вдоль некоторого гладкого контура L под действием непрерывного силового поля (рис. 10).
Контур L разбиваем на n элементарных дуг точками
А = М0, М1,..., Мi-1, Мi,..., Мn = В.
Если элементарные дуги достаточно малы, то в силу непрерывности можно считать, что на каждой элементарной дуге сила является постоянной и равна своему значению в некоторой точке Ni,
При этих предположениях элементарная работа ΔAi, совершаемая при передвижении материальной точки вдоль дуги Мi - 1 Мi, приближённо равна скалярному произведению
|
|
Следовательно, вся работа вдоль контура L приближённо выражается суммой
Обозначим через λ длину наибольшей из хорд Тогда
Т. е. мы пришли к криволинейному интегралу второго рода, который в координатной форме имеет вид:
и который называют линейным интегралом вектора ( x; y; z ) вдоль линии L.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L называют циркуляцией векторного поля по контуру L и обозначают:
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Т.к.
где - проекция вектора на касательную τ, проведенную в направлении обхода кривой L, то равенство можно записать в виде:
или
Это выражение имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль L.
Вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, т.к. в каждой точке векторной линии скалярное произведение сохраняет знак: «+» - если направление вектора совпадает с направлением обхода векторной линии; «–» - в противном случае.