Пусть дана функция m=m(t), где m - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение -средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю, т.е. есть скорость химической реакции в данный момент времени t, V=m′(t).
Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной, следует несколько выводов:
1. Скорость прямолинейного движения есть производная пути S=S(t) по времени t, т.е. V=S′(аналогично ускорение есть производная скорости а=V′). В этом состоит механический смысл производной.
2. Скорость химической реакции есть производная количества вещества m=m(t) по времени t, т.е. V=m′(t).
3. Скорость роста популяции есть производная размера популяции p=p(t) по времени t, т.е. V=p′(t).
4. Скорость роста численности населения есть производная от количества населения А=А(t) по времени t, т.е. V=A′(t).
5. Сила переменного тока J есть производная количества электричества q=q(t) по времени t, т.е. J =q′(t).
6. Угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х0 есть производная f′(x0). В этом состоит геометрический смысл производной.
7. Производительность труда f(t) есть производная от выработки продукции F(t) по времени t, т.е. f(t)=F′(t).
Примеры.
I. Если популяция в момент времени t насчитывает p(t)=3000+100t2 особей (t измеряется в часах), то скорость роста популяции есть p′(t)=200t.
Скорость роста популяции увеличивается со временем.
Если t=5, то скорость роста составляет р′(5)=200·5=1000 особей в час.
Если t=10, то р′(10)=200·10=2000 особей в час.
II. Ракета при движении совершает колебательное движение вокруг своей оси по закону . Найти угловую скорость и ускорение движения в момент времени . Дать характеристику движения.
Решение:
(рад/с)
ε
ε (рад/с2)
неравномерное движение
Ответ: =6 рад/с, ε =18 рад/с2.
III. Пуля, попадая в твердое тело, движется в нем по закону S(t)= ln(1+kV0t), где V0 - скорость, с которой пуля входит в тело, k – постоянная положительная величина.
Решение: V(t)=S′(t)
V(t)=
Ответ: V = ; а =-k∙V2.
IV. Материальная точка движется вдоль оси ОХ согласно закону x(t). Найти скорость и ускорение движения в начальный момент времени. Описать характер движения и схематически изобразить движение материальной точки, если:
а). x(t)=
(м/с)
(м/с2)
х
Равнозамедленное движение в сторону, противоположную оси ОХ.
б).
V(t)=x′(t)=5+t; V(0) 5 (м/с)
a (t)=V′(t)=1; a =1 (м/с2)
x
Равноускоренное движение в сторону оси ОХ.
в). х(t)=- ;
V(t)=x′(t)=- ; V(0)= =3,5 (м/с)
a (t)=V′(t)=-1,5; а =-1,5 (м/с2)
х
Равнозамедленное движение в сторону оси ОХ.
V. Материальная точка движется по прямой. Уравнение движения: S(t)= (м). Найдите ее скорость в момент времени t=3 (c). В какой момент времени ускорение будет равно 9 м/с2?
Решение: а). V(t)=S′(t)=3t2-3t+2;
V(3)=27-9+2=20 (м/с).
б). a (t)=V′(t)=6t-3;
6t-3=9; 6t=12; t=2 (с).
Ответ: V(3)=20 м/с; а =9 м/с2 в момент времени t=2с.
VI. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ(t). Найти угловую скорость и угловое ускорение движения. Дать характеристику движения, если:
А
О
В
а) φ(t)=12t+4
Е (t)=
Е =0 Равномерное движение по окружности.
б). φ(t)=5t3+6t
Е (t)=
Неравномерное движение по окружности.
в). φ(t)=2t2+8t
E (t)=
Равнопеременное движение по окружности.
VII. Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t)=(5-t)(2t-6)+50. Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.
Решение: Е к=
V(t)=S′(t)=-(2t-6)+2(5-t)=-2t+6+10-2t=-4t+16
V(t0)=-4·2+16=-8+16=8 (м/с)
Е к= (Дж)
Ответ: Е к=160Дж.
VIII. Материальная точка массой 10 кг движется прямолинейно по закону S(t)= . Найти скорость и силу, действующую на эту точку в момент времени t=1с.
Решение: F=ma
V(t)=S′(t)=6t2-5t-7
V(t0)=6-5-7=-6 (м/с)
a (t)=12t-5; a (t0)=12-5=7 (м/с2)
F=10·7=70 (Н)
Ответ: F=70 H.
IX. Температура тела изменяется в зависимости от времени по закону Т=100- .
а). Какова скорость изменения температуры тела в момент времени t=1с?
б). В какой момент времени скорость изменения температуры равна 40 в секунду?
Решение: а) (в сек)
б) (t+1)2=16; t+1=4; t=3 (с)
Ответ: а) скорость изменения температуры 10 в сек.
б) скорость изменения температуры 40 в сек достигается в момент времени 3с.