Пусть - коммутативное кольцо с единицей.
Определение. Элемент называется делителем элемента , а элемент - кратным , если в существует такой элемент , что .
Запись означает, что есть делитель , запись означает, что делится на , или кратно .
Примеры.
7.1. В кольце многочленов с действительными коэффициентами многочлен делится на многочлен , так как
, где . В кольце многочлен не делится на , так как .
7.2. В кольце целых гауссовых чисел . В самом деле:
, .
7.3. В кольце число делится на число , так как
,
.
7.4. В поле любой элемент делится на любой отличный от нуля элемент .
Действительно, если , то существует элемент , такой, что . Тогда имеем , причем . Это означает, что .
Обратимые элементы
Определение. Элемент кольца называется обратимым или делителем единицы, если в существует такой элемент , что .
В этом случае пишут .
Теорема. Пусть - множество всех обратимых элементов коммутативного кольца . Тогда умножение - алгебраическая операция в , алгебра является абелевой группой.
|
|
Примеры.
7.5. В кольце целых чисел обратимыми являются числа и . Других обратимых элементов нет.
7.6. В кольце целых гауссовых чисел обратимыми являются числа , , , . Других обратимых элементов в этом кольце нет. Действительно, если элемент обратим, то найдется число , такое, что . Но тогда и , т.е.
(1).
Так как - целые числа и , то равенство (1) возможно лишь в случае , т.е. в одном из четырех случаев: ; ; ; .
Это означает, что может иметь лишь четыре значения: , , , .
7.7. В кольце многочленов с действительными коэффициентами обратимыми являются многочлены нулевой степени, т.е. отличные от нуля действительные числа.
7.8. В кольце многочленов с целыми коэффициентами обратимыми являются числа и .