Пусть - произвольное кольцо, I и J - идеалы этого кольца.
Определение. Суммой идеалов I и J кольца называется множество
I + J, определяемое равенством I + J= .
Определение. Произведением идеалов I и J кольца называется множество I J, определяемое равенством IJ= .
Определение. Пересечением идеалов I и J кольца называется множество .
Легко доказать, что сумма, произведение, пересечение идеалов кольца есть идеал этого кольца.
Примеры.
4.5. Найдите идеал (2): а) в ; б) в в) в ; г) в .
Решение: По определению главного идеала кольца , порожденного элементом 2,
а) в кольце
, есть множество четных чисел.
б) в кольце
есть множество целых гауссовых чисел с четными действительной частью и коэффициентом при мнимой части.
в) в кольце
.
есть множество многочленов с четными коэффициентами.
г) в кольце
.
есть множество многочленов с рациональными коэффициентами.
4.6. В кольце найдите идеал, порожденный элементами и 4.
Решение: По определению идеала, порожденного элементами данного кольца
, где ,
.
4.7. Какие из чисел принадлежат идеалу ( кольца целых гауссовых чисел? Какие из них порождают этот идеал?
Решение: По определению главного идеала,
.
a) Выясним, можно ли число представить в виде
,
.
б) аналогично, для числа получаем
, значит, и, следовательно, .
в) для числа получаем
, значит, и, следовательно, .
Выясним, какие из чисел порождают идеал , т.е. можно ли любой элемент представить в виде или в виде
Для имеем
где может не принадлежать . Следовательно, число не порождает идеал .
, где .
Следовательно, элемент порождает идеал