Интегральная сумма. Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

        

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция , причем   на этом отрезке. Построим график функции на   и концы графика обозначим точками A и B (см. рис. 1).

             

Рис.1

Определение 1: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой , прямыми   и частью оси  (  - основание трапеции).

Ставится задача: найти площадь криволинейной трапеции . Для приближенного решения поставленной задачи разобьём отрезок  на  частей точками ; где , . В результате криволинейная трапеция разобьётся на узкие полоски, которые в общем случае также являются криволинейными трапециями. Но чем меньше ширина полоски, тем меньше эта трапеция отличается от прямоугольника.

Рассмотрим произвольный отрезок   длины , где . На каждом отрезке выберем произвольную точку , то есть , и подсчитаем значение функции в этой точке . Заменим ю криволинейную трапецию на прямоугольник с тем же основанием и высотой, равной . Сделав такую замену на всех  отрезках, получим некоторую ступенчатую фигуру, площадь которой  может быть подсчитана по формуле:

Полученную площадь ступенчатой фигуры можно принять за приближенное значение искомой площади криволинейной трапеции

Увеличивая число точек разбиения отрезка и одновременно уменьшая длины всех элементарных отрезков, в пределе получим площадь криволинейной трапеции

,

где  при .

 

Интегральная сумма. Определенный интеграл

 

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция  (см. рисунок 1).

Рассмотрим разбиение  отрезка  на  частей (не обязательно одинаковых) точками , то есть . Длина каждого элементарного отрезка .

На каждом из полученных отрезков выберем произвольную точку  и вычислим значение функции в этой точке: . Найдем произведение .

Составим сумму  всех таких произведений:

                                                                     (1)

Определение 2: Сумма (1) называется интегральной суммой для функции  на отрезке .

Очевидно, что сумма  зависит от способа разбиения отрезка  на элементарные и от выбора на них точек . Пусть число  точек разбиения отрезка  неограниченно растет, причем .

Определение 3: Если существует предел интегральной суммы  при  и , независящий ни от способа разбиения  отрезка  на элементарные, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается

                                                      (2)

Здесь - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение,  и - соответственно нижний и верхний пределы интегрирования. Функция  называется интегрируемой на отрезке .

Другими словами, определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, когда шаг разбиения стремится к нулю.

Замечание 1. Определенный интеграл вводится как предел интегральной суммы, т.е. мы имеем некоторое обобщенное суммирование на отрезке .

Замечание 2. После введения понятия и обозначения определенного интеграла для рассмотренной задачи о площади криволинейной трапеции можно записать:

,

где  на отрезке .

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом заключен геометрический смысл определенного интеграла.

    Теорема: (теорема существования): Если функция  непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.