Рекомендации по изучению теоретических вопросов курса

Поскольку подавляющее большинство объектов управления являются нелинейными системами, то в целях упрощения нелинейные уравнения заменяют линейными, и поэтому одной из задач теории линейных систем является задача линеаризации исходных нелинейных уравнений объекта управления.

Линеаризация – это операция замены нелинейного дифференциального уравнения (ДУ) приближённым линейным. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач.

Пусть имеется следующее дифференциальное уравнение, записанное в форме:

(1.1)

Разложив нелинейную функцию F в ряд Тейлора в окрестности точки номинального режима, и отбросив члены ряда выше первого порядка малости, получим следующее линейное дифференциальное уравнение для приращения переменных:

(1.2)

Проведенная линеаризация имеет простую графическую интерпретацию: она соответствует замене действительной нелинейной характеристики касательной к ней в точке, соответствующей установившемуся режиму.

Следовательно, процедура линеаризации нелинейных систем дает возможность описать их линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях. Поскольку такая линеаризация основана на разложении в ряд Тейлора, она применима только к непрерывно дифференцируемым нелинейностям.

Одним из способов описания дифференциальных уравнений является передаточная функция.

Передаточная функция – это отношение изображений выходного y (s) и входного x (s) сигналов при нулевых начальных условиях.

(1.3)

Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия, которые наиболее полно отражают особенности реальных возмущений. Во-первых, это позволяет сравнивать отдельные элементы между собой с точки зрения их динамических свойств. Во-вторых, зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.

Наиболее распространенными типовыми воздействиями являются следующие воздействия:

- Единичная ступенчатая функция (функция Хэвисайда)– 1 (t), заданная условиями (рисунок 1.1,а):

(1.4)

Данное воздействие для автоматических систем является распространенным видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения систем и вызывают переходы от одного установившегося состояния к другому. Реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие называют переходной функцией h (t).

Рисунок 1.1 - Типовые воздействия САУ

Изображение переходного процесса имеет следующий вид:

(1.5)

- Дельта-функция (функция Дирака) – δ (t), заданная условиями:

(1.6)

т.е. это импульс с бесконечной амплитудой, площадь которого принимается равной 1 (рисунок 1.1, б). Для автоматических систем является менее распространенным видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция. Однако для теоретического описания последних имеет существенное значение. Подобные воздействия подобны удару в механических системах и короткому замыканию в электрических системах. Реакцией системы на импульсное типовое воздействие называется функцией веса.

Изображение переходного процесса имеет следующий вид:

(1.7)

- Гармоническое типовое воздействие – это синусоидальный сигнал (рисунок 1.1, в). Если на вход линейной системы воздействует гармонический сигнал с амплитудой X_m и фазой _x, то на выходе будет сигнал той же частоты, однако другой амплитуды Y_m и фазы _y. Реакция на гармонический сигнал - частотные характеристики. Изменения амплитуды Y_m и фазы _y выходного сигнала y (t) зависят от частоты  входного сигнала x(t). Эти зависимости определяют следующие частотные характеристики: АЧХ (амплитудно-частотную) и ФЧХ (фазо-частотную):

АЧХ: - коэффициент передачи (усиления) звена на данной частоте;

ФЧХ: - сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами.

Частотные характеристики линейных САУ рассчитываются через передаточные функции: если W(s) – передаточная функция, то W(j) – частотная характеристика (ЧХ), получаемая из передаточной функции путём замены в ней s на j

ЧХ как комплексное число может быть представлено в показательной и алгебраической формах.

- Показательная форма:

(1.8)

Эта запись позволяет найти АЧХ и ФЧХ:

- алгебраическая форма:

(1.9)

Данное выражение позволяет найти – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ) и – мнимо-частотная характеристика (МЧХ).

Если W (jω) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении ω от 0 до +∞ его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W (jω), или амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ).

Рисунок 1.2 - Амплитудно - фазовая частотная характеристика

Между величинами A,  (ω), S (ω)и Q существуют следующие зависимости:

(1.10)

Замечание к расчету значений ФЧХ. В расчётах на калькуляторе, компьютере или по таблицам тригонометрических функций определяется только главные значения арктангенса, которые находятся в пределах от -90° до +90°. Действительное значение угла определяется с учётом структуры выражения, находящегося под знаком arctg, которое является отношением мнимой Q к действительной P части соответствующего комплексного числа. Если P>0, то угол лежит в 1-м или 4-м квадрантах, если S<0, то угол лежит во 2-м или 3-м квадрантах. При S=0 угол равен 90°. Расчет ФЧХ нужно производить по следующей формуле:

(1.11)

где - знак МЧХ.

Пример решения

Задание

Для данного дифференциального уравнения:

при следующих начальных условиях:

выполнить следующие действия:

а) линеаризовать уравнение;

б) преобразовать уравнение по Лапласу, найти передаточную функцию;

в) рассчитать переходный процесс, функцию веса и построить их графики;

г) рассчитать и построить графики АЧХ, ФЧХ и годограф ЧХ;

д) рассчитать и построить ЛАЧХ.

Решение

а) линеаризация уравнения.

Перенеся все члены уравнения влево, получим:

Находим частные производные:

Подставив в уравнение (1.2) полученные значения, можно записать линеаризованное дифференциальное уравнение:

Далее в расчетах линейных САУ будем использовать только линейные ДУ и потому знак D будем опускать:

б) преобразование уравнение по Лапласу, нахождение передаточной функции.

Найдем изображения по Лапласу:

Тогда передаточная функция будет иметь вид:

в) расчёт переходного процесса, функции веса и построение их графиков.

1) корни характеристического уравнения комплексные

Найдем изображение переходного процесса:

В связи с тем, что для данного выражение h (s) невозможно найти оригинал, поэтому представим выражение h (s) в виде суммы простейших дробей, оригиналы которых можно найти.

Решаем относительно p характеристическое уравнение:

Полученные корни являются комплексными. Выделяем полный квадрат в знаменателе, а затем раскладываем выражение h (s) на сумму табличных выражений:

Чтобы определить коэффициенты A, B и C, необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях s.

Подставляя полученные значения коэффициентов A, B и C в h (s):

Используя таблицу преобразований Лапласа (см. приложение А), получим:

Или функцию переходного процесса можно записать в следующем виде:

Следующим шагом является представления выражение h (s) к стандартному виду, так, чтобы свободный член был равен 1, но т.к. постоянная составляющая переходного процесса равна 1, то пропускаем данное преобразование.

Сумму в скобке можно представить в виде одной функции:

Окончательно, функция переходного процесса будет иметь вид:

Тогда функция веса:

На бесконечности значение h (t)стремится к установившемуся значению h_уст=1, так как экспонента в выражении h (t)обращаются в нуль.

Переходный процесс считается завершенным, когда его график h (t) попадает в 5%-зону установившегося значения, и далее не выходит из нее. Установившееся значение переходного процесса равно 1. Так как функция sin по модулю не превосходит 1, то время переходного процесса будет меньше или рано, чем время затухания экспоненты. Время t_пп1, в течение которого затухает экспонента, находится из уравнения:

Точное значение t_пп можно найти только из графика переходного процесса. Для аналитического его определения потребовалось бы решить трансцендентное уравнение, что невозможно.

В связи с развитием вычислительной техники исчезла актуальность шага вычисления, поэтому построения графиков существенно облегчится, если применить математический пакет, например, Mathcad. Графики переходного процесса и функции веса представлены на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Графики переходного процесса h (t) и функции веса k (t)

2) корни характеристического уравнения комплексные

Если корни характеристического уравнения действительные, то нахождения функции переходного процесса и веса будет отличаться от вышеприведенного.

Имеется передаточная функция следующего вида:

Решаем характеристическое уравнение

относительно s, находим следующие действительные корни:

Следовательно, характеристический многочлен можно разложить на множители следующим способом:

Представляем выражение h(s) в виде суммы простейших дробей:

Найдем коэффициенты при степенях s:

Окончательно получаем разложение h(s) на табличные выражения:

Перейдя от изображений к оригиналам, получим:

и для функции веса:

Приводим выражение h(t) к стандартному виду, так что бы свободный член был равен 1:

На бесконечности значение h (t)стремится к установившемуся значению h_уст=3, так как обе экспоненты в выражении обращаются в нуль.

Находим время переходного процесса для каждой из экспонент.

Время t_пп всего переходного процесса не равно ни t_пп1, ни t_пп2, но меньше большего из этих двух значений. Графики h (t) и k (t) приведены на рисунке 1.4

Рисунок 1.4 - Графики переходного процесса h (t) и функции веса k (t)

3) Расчет и построение графики АЧХ, ФЧХ и годографа ЧХ.

Для передаточной функции, имеющей вид:

Найдем частотную характеристику:

Зная показательную форму частотной характеристики, найдем АЧХ и ФЧХ:

ВЧХ и МЧХ вычисляется домножением числителя и знаменателя ЧХ на комплексно-сопряженное к знаменателю число:

где

АЧХ и ФЧХ представлены на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - АЧХ и ФЧХ

Годограф ЧХ представлен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Годограф ЧХ

д) рассчитать и построить график ЛАЧХ.

Приводим передаточную функцию к нормальной форме:

Рассчитываем частоты сопряжения и логарифм от них:

Подготавливаем плоскость V – L к построению ЛАЧХ, для чего отмечаем на ней вертикальными пунктирными линиями значения V ₁, V ₂ (рисунок 1.7).

Составляем выражение передаточной функции W_I (p) для первого участка ЛАЧХ:

Через точку с координатами ω _I = 0,1 и L _I(ω _I) = 0 проводим прямую линию с наклоном 0 (так как ν= 0) до частоты сопряжения ω₂= 1.

Все последующие отрезки ЛАЧХ строим по правилам:

- так как частота сопряжения ω₂=1, разделяющая I -й и II- й участки ЛАЧХ, порождена скобкой трехчленом знаменателя, то наклон линии II- го участка будет равен -2, что следует из вычислений 0-2=-2.

- так как частота сопряжения ω₁=2, разделяющая II -й и III- й участки ЛАЧХ, порождена скобкой двучленом числителя, то наклон линии III- го участка будет равен -1, что следует из вычислений -2+1=-1.