Физические основы механики

1 2 3 4 5 6 7

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x:

x = f (t),

где x – некоторая функция времени t.

Проекция средней скорости на ось x

Средняя путевая скорость

где Δ s – путь, пройденный точкой за интервал времени Δ t.

Путь Δ s в отличие от разности координат Δ x = x ₂ – x ₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δ s 0. Тогда проекция мгновенной скорости на ось x

Проекция среднего ускорения на ось x

Проекция мгновенного ускорения на ось x

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

φ = f(t) (r = R = const),

где φ – угловое перемещение.

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

V = ω · R; a _τ = ε · R; a _n= ω ²· R,

где V – модуль линейной скорости;

a _τ и a _n – модули тангенциального и нормального ускорений;

ω – модуль угловой скорости;

ε– модуль углового ускорения;

R – радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или .

Угол между полным и нормальным ускорениями

α = arccos(a _n / a).

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

Второй закон Ньютона

где – результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

– сила упругости

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость);

D – абсолютная деформация;

– сила гравитационного взаимодействия

F = γ

где γ – гравитационная постоянная;

m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– сила тяжести

где g – ускорение свободного падения.

В случае гравитационного притяжения тела к Земле

где М и R – масса и радиус Земли соответственно;

– сила трения (скольжения)

F = μ · N,

где μ – коэффициент трения;

N – сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

для двух тел (i = 2)

где и – скорости тел в момент времени, принятый за начальный;

и – скорости тех же тел в конечный момент времени.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

T = m · V ²/ 2

или

T = p ²/ 2 m.

Потенциальная энергия:

– упругодеформированной пружины

П = k · x ²/ 2,

где k – жесткость пружины;

x – абсолютная деформация;

– гравитационного взаимодействия

где γ – гравитационная постоянная;

m ₁ и m ₂ – массы взаимодействующих тел;

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = m · g · h,

где g – ускорение свободного падения;

h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h << R, здесь R – радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

E = T + П = const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

А = T = T ₂ – T ₁.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

где – результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело;

– угловое ускорение;

J _z – момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

– стержня длиной L относительно оси, перпендикулярной стержню,

;

– обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

J _z= m · R ²,

где R – радиус обруча (цилиндра);

– диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тел, вращающихся относительно неподвижной оси z,

L _z= J · ω,

где ω – угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

J _z· = const,

где J _z – момент инерции системы тел относительно оси z;

– угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

T = L _z²/ (2 J _z).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

где l ₀ – длина стержня в системе, относительно которой стержень покоится (собственная длина);

l – длина стержня, относительно которой он движется;

β – скорость частицы, выраженная в долях скорости света, β = V / c.

Промежуток времени ∆ t в системе, движущейся по отношению к наблюдателю, связан с промежутком времени ∆ t ₀ в неподвижной для наблюдателя системе отношением