Релятивистская механика

2.76 Определить скорость, при которой релятивистское сокращение линейных размеров тела составляет 10 %.

2.77 Собственное время жизни нестабильной частицы ∆t_o = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни ∆t = 20 нс?

2.78 В системе К' покоится стержень, собственная длина которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол 45º с осью Х'. Определить длину системы стержня и угол в системе К, если скорость системы К^′ относительно К равна 0,8 с.

2.79 Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого Т = 1 ГэВ.

2.80 Сколько времени пройдет на земле, если в ракете, движущейся со скоростью v = 0,95 с относительно Земли, пройдет t = 10 лет?

2.81 Один близнец отправляется в космическое путешествие, другой остается на Земле, причем путешествие длится 40 лет (по земным часам) со скоростью v = 0,2 с. Определить, на сколько моложе окажется космический путешественник.

2.82 Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на 0,01 %, превышает ее массу покоя?

2.83 Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в 2 раза превышает её ньютоновский импульс.

2.84 Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой m от 0,6 до 0,8 с? Сравнить результат со значением. вычисленным по нерелятивистской формуле.

2.85 При какой скорости кинетическая энергия любой частицы равна ее энергии покоя?

 

Молекулярная физика и термодинамика

Основные формулы.

Количество вещества тела (системы)

 

ν = N / N _A,

 

где N – число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющих тело (систему);

N _A – постоянная Авогадро, N _A= 6,02 · 10²³ моль^–1.

Молярная масса вещества

μ = m / ν,

 

где m – масса однородного тела (системы);

  ν – количество вещества этого тела.

Количество вещества смеси газов

 

ν = ν ₁ + ν ₂ +... + ν_n = N ₁ / N _A + N ₂ / N _A +... + N_n / N _A

или

ν = m ₁ / μ ₁ + m ₂ / μ ₂ +... + m_n / μ_n,

 

где ν_i, N_i, m_i, μ_i – количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i -го компонента смеси соответственно.

Уравнение Менделеева-Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

p · V = ν · R · T =  · R · T,

где m – масса газа;

μ – молярная масса газа;

R – молярная газовая постоянная;

ν – количество вещества;

T – термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева-Клапейрона для изопроцессов:

– закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T = const,               m = const)

p · V = const,

 

или для двух состояний газа

p ₁ · V ₁ = p ₂ · V ₂;

 

– закон Гей-Люссака (изобарный процесс: p = const, m = const)

 = const,

 

или для двух состояний газа

;

 

– закон Шарля (изохорный процесс: V = const, m = const)

 

 = const,

 

или для двух состояний

;

 

– объединенный газовый закон (m = const)

 

 = const или ,

 

где p ₁, V ₁, T ₁ и p ₂, V ₂, T ₂ – давление, объем и температура газа в начальном и конечном состояниях соответственно.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов,

 

p = p ₁ + p ₂ +...+ p_n,

 

где p _i – парциальные давления компонентов смеси;

n – число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газов

 

μ = ,

 

где m _i – масса i -го компонента смеси;

ν _i – количество вещества i -го компонента смеси, ν_i = m_i / μ_i;

n – число компонентов смеси.

Массовая доля i -го компонента смеси газа (в долях или процентах)

 

ω_i = m_i / m,

где m – масса смеси.

Концентрация молекул

n =  = ,

 

где N – число молекул, содержащихся в данной системе;

ρ – плотность вещества;

V – объем системы.

Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Основное уравнение кинетической теории газов

 

p = 2/3 n · ,

 

где  – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

 

 = 3/2 k · T,

 

где k – постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

 

 = k · T,

 

где i – число степеней свободы молекулы.

Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

 

p = n · k · T.

 

Скорости молекул:

– средняя квадратичная

;

– средняя арифметическая

;

– наиболее вероятная

,

 

где m ₁ – масса одной молекулы.

Относительная скорость молекулы

 

u = V / V_в,

 

где V – скорость данной молекулы.

Среднее число столкновений молекулы газа за 1 с

 

,

 

где d – эффективный диаметр молекулы газа;

n –концентрация молекул газа;

 – средняя арифметическая скорость молекул газа.

Средняя длина свободного пробега молекул (расстояние, проходимое молекулой газа между двумя последовательными столкновениями)

 

.

 

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме C_v и постоянном давлении C_p определяются по формулам:

 

C_v = ; C_p = .

 

Связь между удельной c и молярной C теплоемкостями

 

с = C / μ, С = с · μ.

 

Уравнение Майера

C_p – C_v = R.

 

Внутренняя энергия идеального газа

 

U = .

 

Первое начало термодинамики

 

Q = U + A,

 

где Q – теплота, сообщенная системе (газу);

U – изменение внутренней энергии системы;

A – работа, совершенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа

– в общем случае

A =

– при изобарном процессе

A = p (V ₂ – V ₁);

 

– при изотермическом процессе

 

A = RT ln ;

 

– при адиабатном процессе

A = – U = – C_V · T или A = ,

где γ – показатель адиабаты, γ = C_P / C_V.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры идеального газа при адиабатном процессе:

p ·V ^γ = const;    ;

;    .

 

Коэффициент полезного действия (КПД) цикла

 

η = ,

 

где Q ₁ – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя;

  Q ₂ – теплота, переданная рабочим телом холодильнику.

КПД цикла Карно

η =  = ,

 

где T ₁ и T ₂ – температуры нагревателя и холодильника.

Разность энтропий двух состояний B и A определяется формулой

 

Δ S = .

Типовые задачи