Пусть на отрезке дана непрерывная неотрицательная функция (рис.1). Проведем вертикальные прямые до пересечения с графиком функции .
y
y=f(x)
a b
0 x
рис.1
Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , , прямыми и отрезком оси .
Как вычислить площадь криволинейной трапеции? Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (рис.2), у которой абсцисса точки С равна х, а абсцисса точки D равна . Пусть график функции пересекает ось ординат в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейной трапеции OAKD и OAHC. Так как площадь криволинейной трапеции OAHC зависит от х, то ее можно обозначить символом S(x). Аналогично, площадь криволинейной трапеции OAKD есть функция от и ее можно обозначить символом S(). Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности S() и S(x) иможет быть обозначена символом .
|
|
Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого из них равна , а площадь второго равна . Поскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньше площади прямоугольника CHED и не больше площади прямоугольника CMKD, можно записать неравенство.
Разделив обе части этого неравенства на и найдем пределы всех выражений при . Но есть производная функции S(x), а в силу непрерывности функции имеем . Следовательно, .
Итак, производная площади криволинейной трапеции равна функции, задающей верхнюю границу трапеции.
Поэтому площадь криволинейной трапеции есть одна из первообразных функции, задающей верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования:
y M K
H E
A f(x) f( )
x
O C D x
рис.2
Пусть . Площадь криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.3, есть функция от х. Обозначим ее через S(x). Очевидно, что S(a)=0, так как при х=а заштрихованная фигура превращается в отрезок, а S(b)=S есть площадь рассматриваемой криволинейной трапеции.
Замечание. Когда говорят о непрерывности функции на промежутке , то под этим понимают непрерывность ее в каждой точке этого промежутка, в том числе в точках a и b, т.е., что при стремлении х к а и при стремлении х к b.
Используя равенство , где на промежутке , выведем формулу для вычисления площади криволинейной трапеции (см.рис.3). Из этого равенства видно, что S(x) есть первообразная для на промежутке . Пусть – другая первообразная для на этом же промежутке. В силу основного свойства первообразной имеем .
|
|
y
y=f(x)
S(x)
0 a x b x
рис.3
Последнее равенство верно при всех , так как функции S(x) и определены в точках a и b. Подставив вместо x число a, получим . Но , поэтому , откуда . Таким образом, .
Подставив в последнее равенство , найдем искомую площадь:
(1)
Напомним, что приращением аргумента х при его изменении от до называется разность , а приращением функции при изменении аргумента от до называется разность .
Найдем приращение любой первообразной функции при изменении аргумента от до :
Полученный результат означает, что при изменении х от до все первообразные для данной функции имеют одно и то же приращение, равное .
Это приращение принято называть определенным интегралом.
Определение. Если – первообразная функция для , то приращение первообразных функций при изменении аргумента х от до называется определенным интегралом и обозначается символом , т.е.
,
где – нижний предел, а – верхний предел определенного интеграла.
Символ читается так: «определенный интеграл от до эф от икс дэ икс».
Функция предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента х от до .
Для вычисления определенного интеграла находят:
1) неопределенный интеграл ;
2) значение интеграла при , С=0, т.е. вычисляют ;
3) значение интеграла при , С=0, т.е. вычисляют ;
4) разность .
Процесс вычисления виден из формулы:
(2)