Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. При этом мы будем предполагать, что функция непрерывна на отрезке .
1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:
(1).
Доказательство: Пусть и, значит, . Тогда ; (2)
. (3)
Правые части равенств (2) и (3) равны; следовательно, должны быть равны и левые части, т.е. справедливо соотношение (1).
Это свойство позволяет рассматривать интегралы, в которых верхний предел меньше нижнего.
2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла, т.е.
, (4),
где m - постоянная величина.
Доказательство: Пусть и, следовательно, . Тогда , (5)
. (6)
Из равенства (6) получим , откуда
.
Но из равенства (5) следует и значит, справедливо соотношение (4).
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е.
(7)
Доказательство: Пусть и . Тогда
или .
Аналогично можно доказать справедливость этого свойства для любого конечного числа слагаемых.
4. Если a, b, c принадлежат интервалу, на котором функция непрерывна, то
(8).
Доказательство: Пусть – первообразная функция для . Тогда
.
Вычисление определенного интеграла
1.
2.
3.
4.
5.
6.