Пример. Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала. На валу установлены два колеса. На колеса действуют две окружные силы Ft1 = 1,2 кН; Ft2 = 2 кН и две радиальные силы в вертикальной плоскости Fr1 = 0,43 кН; Fr2 = 0,72 кН. Диаметры колес соответственно равны d1 = 0,1 м; d2 = 0,06 м. Принять для материала вала [σ] = 50 МПа. Рассчитать размеры вала кольцевого сечения при с = 0,8 (с = dвн / d)/ Расчет произвести по гипотезе максимальных касательных напряжений. Весом вала и колес пренебречь.
Решение
Указание. Используем принцип независимости действия сил, составляем расчетные схемы вала в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определяем реакции в опорах в горизонтальной и вертикальной плоскостях в отдельности. Строим эпюры изгибающих моментов (рис.). Под действием окружающих сил вал скручивается. Определяем действующий на валу крутящий момент. Составляем расчетную схему вала (рис.9).
1. Крутящий момент на валу:
.
2. Изгиб рассматриваем в двух плоскостях: горизонтальной (пл.Н) и вертикальной (пл. V).
В горизонтальной плоскости определяем реакции в опоре:
Рис.11
Рис.12
Определяем изгибающие моменты в точках С и В:
.
В вертикальной плоскости определяем реакции опор:
;
.
.
Определяем изгибающие моменты в точках С и В:
Суммарные изгибающие моменты в точках С и В:
В точке В максимальный изгибающий момент, здесь же действует и крутящий момент.
Расчет диаметра вала ведем по наиболее нагруженному сечению.
3. Эквивалентный момент в точке В по третьей теории прочности:
;
4. Определяем диаметр вала круглого поперечного сечения из условия прочности:
; ; ;
;
Округляем полученную величину: d = 36мм.
5. Определяем необходимые размеры вала кольцевого сечения при
с =0,8; , где d – наружный диаметр вала.
;
; .
Диаметр вала кольцевого сечения можно определить по формуле:
; ;
; d ≥ 42,5 мм.
Примем диаметр d =42 мм.
Внутренний диаметр dВН = 0,8 d = 33,6 мм.
Округляем до значения dВН = 33 мм.
6. Сравним затраты металла по площадям сечения вала в обоих случаях.
Площадь поперечного сечения сплошного вала:
;
Площадь поперечного сечения полого вала:
;
Площадь поперечного сечения сплошного вала почти в два раза больше кольцевого сечения:
.