Распределение хи - квадрат

Табулирование и квантили нормального распределения.

Квантиль нормального распределения порядка р — это число U_p для которого Ф(U_p) = р. Например, U_0,95= 1,64 5.

Из симметрии графика функции стандартного нормального распределения и формулы (3.36) вытекает полез­ное соотношение для квантилей:

U_1-p=-U_p

Можно установить связь между функцией распределения F(x) для распределения N(m, σ) и функцией стандартного нормаль­ного распределения:

Вероятность попадания нормально распределенной случай­ной величины в интервал от х₁ до х₂ в соответствии с зависимо­стями (3.11) и (3.38) определяется по формуле

Часто в расчетах надо найти вероятность того, что случайная величина X не слишком сильно отклонится от своего математи­ческого ожидания т:

Пусть, например, ε = Зσ. Используя таблицы функции стан­дартного нормального распределения, найдем:

P(| X- т | < Зσ) = 2Ф(3) -1= 2* 0,99865 - 1 = 0,9973,

поэтому вероятность того, что случайная величина отклонится от математического ожидания больше, чем на Зσ, ничтожно мала: P(| X- т | > Зσ) = 0,0027. Такое событие практически невозмож­но. В связи с этим на практике часто используется так называе­мое правило «трех сигм»: отклонение нормально распределен­ной случайной величины от ее математического ожидания, как правило, не превышает утроенного стандартного отклонения.

Пример На станке-автомате изготавливаются валики номинальным диаметром 10 мм. Стандартное отклонение, характеризующее точность станка, составляет σ = 0,03 мм. Сколько в среднем валиков из ста удовлетворяют стандарту, если для этого требует­ся, чтобы диаметр отклонялся от номинального не более чем на 0,05 мм?

Из (3.40) имеем:

Р(|Х-m | < 0,05) = 2Ф(0,05/0,03) - 1 = 2Ф(1,67) -1= 2 0,9522 - 1 = 0,9044,

т.е. примерно 90 валиков из каждых 100 удовлетворяют стандарту.

Широкое распространение нормального распределения обо­сновывается центральной предельной теоремой, которая устанавли­вает условия, в которых справедливо нормальное распределение.

Упрощенная формулировка теоремы такова. Пусть Хх, Х2,... Хп — независимые одинаково распределенные случайные вели­чины.

Тогда при увеличении n закон распределения суммы этих величин неограниченно приближается к нормальному.

Пусть Х_i – случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение N(0,1). Распределение суммы квадратов этих величин

называется распределением хи – квадрат с k степенями свободы. График кривых распределения хи – квадрат показан на рисунке. Квантили распределения хи – квадрат обозначаются χ²_p(k); они табулированы, их значения определяются числом степеней свободы k и порядком квантили p. Например, χ ²_0,975(15) = 27,5.

Рисунок – Кривые распределения хи – квадрат