§3.1. Элементы теории вероятностей
Статистические методы в управлении качеством, как и математическая статистика, базируются на основных положениях теории вероятностей. Теория вероятностей - наука о закономерностях массовых случайных событий, т.е. событий, которые при соблюдении определенного комплекса условий могут произойти, а могут и не произойти. Случайными событиями являются, например, взятие дефектной детали из партии изготовленной продукции или выход из строя телевизора во время гарантийного периода. Степень возможности осуществления таких событий может быть большей или меньшей, она характеризуется вероятностью события.
Случайное событие можно рассматривать как результат некоторого эксперимента со случайными исходами, поставленного специально (взятие детали из партии) или в результате наблюдения за естественно происходящими событиями (выход из строя телевизора).
Предположим, что эксперимент можно повторять в одних и тех же условиях неоднократно. Рассмотрим некоторое событие А = {Взятая из партии деталь оказалась дефектной}. Если в серии из N опытов событие А произошло М раз, то отношение W(A) = М / N можно назвать относительной частотой события А.
|
|
Р{А) «ЩА) = М/N. (3.1)
Такое определение вероятности называется статистическим. При небольших значениях N частота одного и того же события может колебаться в достаточно широких пределах. Однако при большом числе опытов эта величина стабилизируется, и ее колебания приближаются к некоторому пределу, который приближенно и характеризует вероятность осуществления рассматриваемого события:
Нетрудно видеть, что в общем случае 0 < М < N. При М - О имеем невозможное событие: событие, которое при определенных условиях никогда не произойдет. Вероятность такого события равна нулю.
В реальных ситуациях часто имеют место события, вероятность которых близка к нулю, такие события называют практически невозможными. Например, если вероятность разрушения детали составляет 0,0001, т.е. в среднем разрушается одна деталь из десяти тысяч, то разрушение детали — событие маловероятное, или практически невозможное.
При М = N имеем достоверное событие, которое обязательно произойдет при заданных условиях. Вероятность такого события равна единице. Если же вероятность некоторого события близка к единице, такое событие называют практически достоверным.
Для любого события А вероятность Р{А) лежит в пределах от нуля до единицы:
0≤P(A)≤1. (3.2)
Событие А, состоящее в том, что событие А не произойдет, называется противоположным событию А.
Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в том, что произойдет или событие А, или событие В, или оба события вместе.
|
|
Произведение событий А и В — это событие АВ, состоящее в том, что произойдут совместно и событие А, и событие В.
Пусть, например, А = {Изделие имеет царапину}, В= {Изделие имеет вмятину}, тогда противоположное событие А = {Изделие не имеет царапины}, произведение этих событий АВ = = {Изделие имеет царапину и вмятину}, а их сумма А + В = {Изделие имеет или царапину, или вмятину}.
События А и В называются несовместными, если их одновременное осуществление невозможно; произведение таких событий — пустое множество: АВ= Ø.
Вероятность осуществления события А зависит от соблюдения определенного комплекса условий. Предположим, что произошло некоторое событие В. Это обстоятельство может изменить вероятность события А. Вероятность события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).
События А и В называются независимыми, если вероятность осуществления одного из них не зависит от того, произошло ли другое событие. Для независимых событий А и В
Р(А) = Р(А/В) = Р(А / В). (3.3)
Можно показать, что вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:
Р(АВ) = Р(А) Р(В). (3.4)
В общем случае, когда события могут оказаться зависимыми, формула произведения вероятностей имеет вид:
Р{АВ) = Р{А) Р(В/А). (3.5)
Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р{А + В) = Р{А) + Р{В). (3.6)
Для совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:
Р{А + В) = Р(А) + Р(В) - Р{АВ). (3.7)
Из формулы (3.6), учитывая, что события А и А являются несовместными, а их сумма (А + А) — событие достоверное, следует формула для вероятности противоположного события:
Р(А) = 1 - Р{А). (3.8)