Случайные величины. Под случайной величиной понимают числовой результат экспери­мента со случайными исходами

Под случайной величиной понимают числовой результат экспери­мента со случайными исходами. Если эксперимент состоит в ана­лизе партии изготовленных деталей, то случайной величиной может быть количество дефектных деталей, или диаметр наудачу взятой детали, или отклонение размера детали от номинального значения. При оценке надежности устройства случайная величи­на — это количество отказов за некоторый промежуток времени, или время, проработанное устройством до первого отказа.

Если множество значений случайной величины может быть конеч­ным или счетным (количество дефектных деталей, количество отказов), то такая случайная величина называется дискретной. В других ситуациях случайная величина принимает любое значе­ние из некоторого промежутка. Это непрерывная случайная ве­личина.

Обозначим случайную величину заглавной буквой X, а кон­кретные значения, которые может принимать эта величина — х. Случайная величина считается заданной, если известен закон распределения.

Можно задать случайную величину с помощью функции распределения — вероятности того, что случайная вели­чина X окажется меньше некоторого х.

F(x) = Р(Х< х). (3.9)

F(x) = F'(x)

Закон распределения непрерывной случайной величины пол­ностью определяется ее плотностью.

P(x₁≤x<x₂)=F(x₂)-F(x₁)

Очевидно понятие плотно­сти распределения, в отличие от функции распределения, спра­ведливо только для непрерывной величины. График функции f(х) называется кривой распределения. При известной плотности распределения функция распре­деления вычисляется как интеграл.

—

Закон распределения дает полную информацию о случайной величине, однако часто в практических задачах удобнее охарак­теризовать случайную величину менее полно, но более нагляд­но — с помощью нескольких числовых характеристик. Важней­шей среди них является математическое ожидание — это среднее значение, около которого группируются все значения случай­ной величины. Математическое ожидание (будем обозначать его т_х или М[Х] для дискретной случайной величины вычисляется по формуле

т_х=∑x_iP_i (3.16)

для непрерывной —

т_х= (3.17)

Свойства математического ожидания: математическое ожи­дание постоянной равно этой постоянной; постоянный множитель можно ∑ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Иногда в расчетах используют и другие характеристики цен­тра группирования случайной величины. Мода Мо_х дискретной случайной величины — это наиболее вероятное значение этой величины; для непрерывной величины мода — это координата (абсцисса) максимума кривой распределения.

Медиана Ме_х — абсцисса кривой распределения, в которой площадь под кривой делится пополам. Если кривая распределе­ния симметрична, то математическое ожидание, мода и медиа­на совпадают; в противном случае они различны.

Квантилью порядка р называется число z_p для которого фун­кция распределения F(x) принимает значение р:

F(z_p)=p. (3.18)

Нетрудно видеть, что медиана случайной величины X есть квантиль, соответствующая вероятности 0,5:

Ме_х = z_{0, 5}.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние случайной вели­чины относительно среднего значения, вводится специальная характеристика - дисперсия. Дисперсией называется математи­ческое ожидание квадрата разности случайной величины и ее математического ожидания:

D_x= М[{Х- т_х)²]. (3.19)

С учетом (3.16) и (3.17) получим зависимости для расчета дисперсий дискретной случайной величины:

D_x = ∑ (х_i- m_x)²p_i (3.21)

и непрерывной случайной величины

D_x = (х-т_х)²f(x)dx.

Основные свойства дисперсии: дисперсия постоянной равна нулю; постоянный множитель можно выносить из-под знака дисперсии, возводя его в квадрат; для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

Среднеквадратичное, или стандартное, отклонение случайной величины — это положительное значение квадратного корня из дисперсии:

Обобщение понятия дисперсия - центральный момент к- го порядка:

μ_к[Х] = М[(Х-т_х)^k],

μ₂[X]=D_x

μ₁[X]=0

Центральные моменты используются, в частности, для рас­чета характеристик формы кривой распределения.

Коэффици­ент асимметрии

a_x=

характеризует несимметричность кривой распределения.

А коэф­фициент эксцесса - островершинность или крутость кривой распределения: для нормального распределения эксцесс равен нулю; положитель­ный эксцесс имеют распределения более островершинные, чем нормальные.