Лекция 5
5.1. СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
В настоящее время при разработке АСУ ТП и АСУП большое внимание уделяется системам оптимального управления. В этих системах целью управления является обеспечение наилучшего (максимального или минимального) значения критерия оптимального управления (критерия оптимальности). В качестве критерия оптимального управления могут быть выбраны различные технические или экономические показатели, например время перехода из одного состояния в другое, среднее отклонение какой-либо регулируемой величины от заданного значения в определенный промежуток времени, производительность объекта, показатели качества продукции, затраты сырья или энергии, себестоимость продукции.
В общем случае критерий оптимального управления I зависит от управляемой величины х, возмущений (помех)z, управляющего воздействия (управления) и, а также от времени t, т.е.
I = F(x, z, u, t).
Поскольку х = х(t), z = z(t), u = u(t) являются функциями времени, то критерий оптимальности является функционалом (говоря условно "функцией функций"). Задача оптимального управления состоит в отыскании такого управляющего воздействия u(t), которое обеспечивает экстремальное значение функционалу I min или I max. Критерий оптимальности часто имеет интегральную форму:
[5.1]
Например, можно создать оптимальную систему управления, потребовав обеспечения минимума функционала:
, [5.2]
т.е. систему, которая обеспечивала бы минимальное значение интеграла квадрата отклонения регулируемой величины от заданного значения и, следовательно, наибольшую точность поддержания заданного значения в процессе регулирования.
Критерий оптимального управления выбирается (разрабатывается) достаточно условно в зависимости от требований производства, стремлений разработчика системы и т.п. поэтому не существует оптимального управления "вообще", а есть оптимальное управление в определённом (заданном) смысле.
В любой системе управления есть ограничения на регулируемые величины и управляющие воздействия, обусловленные разными причинами: стойкостью агрегата, (например, максимально допустимой температурой футеровки), технологией производства (максимально допустимая температура металла в печи), ресурсами управления (максимально возможная тепловая мощность в мартеновской печи, расход кислорода в конвертере), скоростью изменения управляющих воздействий и т.п. Учитывая сказанное можно дать ещё одно определение оптимального управления: оптимальным,в определённом (заданном) смысле управлением называется динамический процесс, целесообразно использующий ресурсы системы для достижения при данных ограничениях экстремума критерия оптимального управления.
В сложном металлургическом процессе часто под оптимизацией приходится понимать поиск компромиссного решения при выборе наиболее приемлемых параметров технологического процесса для конкретных условий работы агрегата (влияние соседних агрегатов, наличие ресурсов управления, ограничения и др.). Такие задачи в рамках АСУ ТП во многих случаях можно решать лишь с участием опытных операторов-технологов в диалоговом режиме их работы с ЭВМ.
5.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
Математические модели объектов управления технологических процессов являются частью математического обеспечения АСУ ТП и представляют собой описание объекта на формальном математическом языке (алгебраические, дифференциальные, интегральные уравнения с соответствующими ограничениями - начальными и граничными условиями), позволяющие выносить количественное суждение о параметрах процесса. При автоматизации технологических процессов математические модели дают возможность рассчитывать изменение выходных величин объекта при различных входных воздействиях, а также соответствующие управляющие воздействия.
Математическая модель сложного технологического процесса даёт упрощенное, приближённое описание этого процесса, однако, при использовании современных ЭВМ математическую модель можно усложнить практически до любого уровня точности. Вместе с тем, потребная точность и, следовательно, сложность модели зависят от её назначения, и при разработке модели следует исходить из поставленных задач с тем, чтобы не усложнять модели тогда, когда это не требуется.
Примерная классификация математических моделей (рис.5.1) позволяет выяснить их основные особенности.
Рис. 5.1. Классификация математических моделей
Так, по назначению математические модели могут разрабатываться для технологических исследований и для управления. Первые должны давать возможность исследовать технологический процесс без экспериментов с целью его совершенствования, а в некоторых случаях разрабатывать новые технологические процессы.
Эти модели могут быть весьма сложными, поскольку они, с одной стороны, должны давать наиболее точное описание процесса, позволяющее исследовать "тонкости" технологии, а с другой стороны, они не ограничены временем расчёта на ЭВМ (ограничения могут быть только о точки зрения стоимости и расчётов). Вторые должны давать информацию для управления или рассчитывать управляющие воздействия и во многих случаях могут быть проще моделей для исследования, тем более сложность модели для управления ограничена временем расчёта по ним, поскольку они должны рассчитывать управление быстрее или в темпе с процессом ("он лайн").
Математические модели могут быть предназначены для расчёта тех выходных величин процесса, которые невозможно определить непосредственными измерениями на объекте (отсутствуют датчики), или для расчёта некоторых комплексных величин, лучше характеризующих процесс, чем измеряемые величины. Такие модели называются контролирующими.
Прогнозирующие модели позволяют рассчитывать изменение выходных величин или их значения в какой-то будущий момент времени, т.е. прогнозировать ход процесса. Эти модели преимущественно используются при оптимальном управлении, поскольку предварительный расчёт и последующая реализация оптимальных управляющих воздействий возможны только тогда, когда мы можем прогнозировать ход процесса при этих воздействиях еще до получения окончательного результата.
По свойствам во времени модели подразделяются на статические и динамические. Статические модели позволяют рассчитывать параметры процесса без учёта времени. Это могут быть модели для расчёта некоторых комплексных параметров на, основе измерения ряда величин в данный момент времени. Например, расчёт теплоусвоения ванны мартеновской печи по так называемым мгновенным обратным тепловым балансам.
К статическим относятся также модели для расчета (прогнозирования) конечных значений управляемых величин (например, конечного содержания углерода в металле в конвертере) без привязки их по времени и расчёта интегральных (не распределенных во времени) управляющих воздействии (например, расчет общего количества кислорода на плавку в конвертере). Статические модели состоят ив алгебраических уравнений; очень часто таковыми являются уравнения балансов энергии или вещества.
Динамические модели дают возможность рассчитывать значение выходных величин и управляющих воздействий во времени и отроятся на основе дифференциальных уравнений, хотя обычно в них присутствуют и алгебраические соотношения.
Модели, построенные на основе теоретических представлений о процессе и использующие физические и химические закономерности, называют детерминированными (теоретическими). Строго детерминированные модели можно создать только для довольно простых процессов. Обычно в таких моделях присутствует некоторое число экспериментальных соотношений, но за моделями сохраняют название детерминированных, если роль экспериментальных соотношений невелика.
Экспериментально-статистические модели строятся в том случае, когда нет чёткого представления о физике процесса или когда описываются очень сложные процессы. Для их построения используются экспериментальные данные или результаты длительной эксплуатации агрегата, подвергаемые затем статистической обработке (регрессивный и корреляционный анализы). В результате получаются вероятностные соотношения, называемые стохастическими моделями.
Наиболее часто применяются комбинированные модели, в которых используется и детерминированный, и статистический принципы составления моделей. В таких моделях основные уравнения получены на основе теоретических представлений, но входящие в них коэффициенты определяются статистическим путём.