Пусть у = f (и) и и = φ (x), тогда у=f (φ (x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и и независимым аргументом х.
Теорема. Если функция и = φ (х)имеет производную в точке х, а функция у = f (u)имеет производную в соответствующей точке и = φ(х), то сложная функция у = f (φ(x))имеет производную в точке х,которая находится по формуле = ·.
6. 8. Производная обратной функции
Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в некотором промежутке . Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция , так же монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Теорема. Если функция у = f (x) строго монотонна на интервале (a; b) и имеет неравную нулю производную f ′(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x = φ(у)также имеет производную φ'(у)в соответствующей точке, определяемую равенством или .
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
или