Коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена

При ранжировании эксперт должен расположить оцениваемые элементы в порядке возрастания (убывания) их предпочтительности и приписать каждому из них ранги в виде натураль­ных чисел. При прямом ранжировании наиболее предпочтительный элемент имеет ранг 1 (иногда 0), а наименее предпочтительный — ранг m.

Если эксперт не может осуществить строгое ранжирование из-за того, что, по его мнению, некоторые элементы одинаковы по предпочтительности, то допускается присваивать таким элементам одинаковые ранги. Чтобы обеспечить равенство суммы рангов сумме мест ранжируемых элементов, применяют так называемые стандарти­зированные ранги. Стандартизированный ранг есть среднее арифмети­ческое номеров элементов в ранжиро­ванном ряду, являющихся одинако­выми по предпочтительности.

Пример 2.6. Эксперт упорядочил шесть элементов по предпочтению следующим образом:

Тогда стандартизированные ранги этих элементов будут

Таким образом, сумма рангов, приписанных элементам, будет равна сумме чисел натурального ряда.

Точность выражения предпочтения путем ранжирования элементов существенно зависит от мощности мно­жества предъявлений. Процедура ранжирования дает наиболее надежные результаты (по степени близости выявленного предпочтения и «истинного»), когда число оцениваемых элементов не более 10. Предельная мощность множества предъявления не должна превосходить 20.

Обработка и анализ ранжировок проводятся с целью построения группового отношения предпочтения на основе индивидуальных предпочтений. При этом могут ставиться следующие задачи: а) определение тесноты связи между ранжировками двух экспертов на элементах множества предъявлений; б) определение взаимосвязи между двумя элементами по индивидуальным мнениям членов группы относительно различных характеристик этих элементов; в) оценка согласованности мне­ний экспертов в группе, содержа­щей более двух экспертов.

В первых двух случаях в качестве меры тесноты связи используется коэффициент ранговой корреляции. В за­висимости от того, допускается ли только строгое или нестрогое ранжи­рование, используется коэффициент ранговой корреляции либо Кендалла, либо Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла для задачи (a)

, (2.5)

где m − число элементов; r_1i – ранг,приписанный первым экспертом i −му элементу; r_2i – то же, вторым экспертом.

Для задачи (б) компоненты (2.5) имеют следующий смысл: т — число характеристик двух оцениваемых эле­ментов; r_1i (r_2i) — ранг i-й характеристики в ранжировке первого (второго) элемента, выставленный группой экс­пертов.

При строгом ранжировании исполь­зуется коэффициент ранговой корреляции р Спирмена:

, (2.6)

компоненты которого имеют тот же смысл, что и в (2.5).

Коэффициенты корреляции (2.5), (2.6) изменяются от -1 до +1. Если коэффициент корреляции равен +1, то это означает, что ранжировки одинаковы; если он равен -1, то − противоположны (ранжировки обратны друг другу). Равенство коэффициента корреляции нулю означает, что ран­жировки линейно независимы (некоррелированы).

Поскольку при таком подходе (эк­сперт − «измеритель» со случайной погрешностью) индивидуальные ран­жировки рассматриваются как случай­ные, то возникает задача статистиче­ской проверки гипотезы о значимости полученного коэффициента корреля­ции. В этом случае используют крите­рий Неймана-Пирсона: зада­ются уровнем значимости критерия α и, зная законы распределения коэффи­циента корреляции, определяют поро­говое значение c_α, с которым сравни­вают полученное значение коэффици­ента корреляции. Критическая об­ласть − правосторонняя (в практике обычно сначала расчитывают значение критерия и определяют по нему уро­вень значимости, который сравнивают с пороговым уровнем α).

Коэффициент ранговой корреляции τ Кендалла имеет при т > 10 распре­деление, близкое к нормальному с па­раметрами:

(2.7)

где M [τ] – математическое ожидание; D [τ] – дисперсия.

В этом случае используются таблицы функции стандартного нормального распределения:

,

а граница τ_α критической области определяется как корень уравнения

. (2.8)

Если вычисленное значение коэф­фициента τ ≥ τ_α, то считается, что ранжировки, действительно хорошо согласуются. Обычно значение α вы­бирают в пределах 0,01—0,05. Для т ≤ 10 распределение т приведено в табл. 2.1.

Проверка значимости согласован­ности двух ранжировок с использованием коэффициента ρСпирмена осу­ществляется в том же порядке с ис­пользованием таблиц распределения Стьюдента при т > 10.

В этом случае величина

(2.9)

имеет распределение, хорошо аппроксимируемое распределением Стьюдента с m – 2 степенями свободы. При m > 30 распределение величины ρ хорошо согласуется с нормальным, имеющим M [ρ] = 0 и D [ρ] = .

Для т ≤ 10 проверку значимости ρ осуществляют с помощью табл. 2.2.

Если ранжировки нестрогие, то коэффициент Спирмена

, (2.10)

где ρ – вычисляют по (2.6);

,

, (2.11)

где k₁, k₂ − число различных групп нестрогих рангов в первой и второй ранжировках соответственно; l _i − число одинаковых рангов в i -й группе. При практическом использовании ко­эффициентов ранговой корреляции ρ Спирмена и τ Кендалла следует иметь в виду, что коэффициент ρ обеспечивает более точный результат в смысле ми­нимума дисперсии.

Таблица 2.1. Распределение коэффициента ранговой корреляции Кендалла

Sα	m	Sα	m
	0.625	0.592	0.548	0.540		0.500	0.500	0.500
	0.375	0.408	0.452	0.460		0.360	0.386	0.431
	0.167	0.242	0.360	0.381		0.235	0.281	0.364
	0.042	0.117	0.274	0.306		0.136	0.191	0.300
		0.042	0.199	0.238		0.068	0.119	0.242
		0.0083	0.138	0.179		0.028	0.068	0.190
			0.089	0.130		0.0083	0.035	0.146
			0.054	0.090		0.0014	0.015	0.108
			0.031	0.060			0.0054	0.078
			0.016	0.038			0.0014	0.054
			0.0071	0.022			0.0002	0.036
			0.0028	0.012				0.023
			0.009	0.0063				0.014
			0.002	0.0029				0.0083
				0.0012				0.0046
				0.0004				0.0023
								0.0011
								0.0005

В табл. даны вероятности , где .

Таблица 2.2. Распределение коэффициента ранговой корреляции Спирмена

m = 4	m = 5	m = 6	m = 7	m = 8	m = 9	m = 10
Sα	α	Sα	α	Sα	α	Sα	α	Sα	α	Sα	α	Sα	α
	0.458		0.475		0.210		0.249		0.250		0.218		0.235
	0.375		0.392		0.178		0.198		0.195		0.168		0.184
	0.208		0.342		0.149		0.151		0.150		0.125		0.139
	0.167		0.258		0.121		0.118		0.108		0.089		0.102
	0.042		0.225		0.088		0.083		0.076		0.060		0.072
			0.175		0.068		0.055		0.048		0.038		0.048
			0.117		0.051		0.033		0.029		0.022		0.030
			0.067		0.029		0.017		0.014		0.011		0.017
			0.042		0.017		0.0062		0.0054		0.0041		0.0087
			0.0083		0.0083		0.0014		0.0011		0.0010		0.0036
					0.0014								0.0011

Примечание

В табл. даны вероятности , где .

В последней строке указаны значения .

Для определения вероятности используют формулу

.

Пример 2.7. Два эксперта провели ранжирование показателей эффективности W₁−W₄ (см. пример 2.3). Необ­ходимо установить степень близости мнений экспертов по Спирмену и Кен­даллу и оценить значимость коэффи­циентов ранговой корреляции ρ, τ. Получены следующие результаты экспертизы (прямая нумерация рангов):

Эксперт	Оцениваемый элемент
W1	W2	W3	W4

По (2.5.2) вычисляют коэффициент

.

Для того чтобы воспользоваться табл. 2.2, вычислим значение

.

Так как критическая область определяется равенством ρ > ρ_α , то равносильное неравенство для S_ρ согласно (2.6) имеет вид S_ρ < S_α. Поэтому

(см. примечание к табл. 2.2). Большее значение вероятности α свидетельствует о том, что, например, на 5 %-ном уровне значимости (α = 0,05) гипо­тезу о независимости мнений экспер­тов не следует отвергать. Статистиче­ская незначимость полученной оценки обусловлена главным образом малым числом оцениваемых элементов.

Используя коэффициент ранговой корреляции τ Кендалла, по (2.5) получаем

Величина .

Вероятность выполнения неравенства эквивалентна вероятности события .

Поэтому, воспользовавшись табл. 2.1, определим .

Для иллюстрации задачи определе­ния взаимосвязи между двумя эле­ментами по индивидуальным мнениям группы экспертов приведем следую­щий пример.

Пример 2.8. Для решения задач по­вышения качества продукции и сни­жения ее себестоимости, связанных с проблемой повы­шения рентабельности предприятия, эксперты предложили использовать шесть мероприятий и провели их ранжирование с учетом их эффективности по решению каждой из указанных задач. Требуется установить степень влияния предложенных мероприятий на одновременное решение двух указанных задач.

Результаты нестрогого ранжирования после обработки индивидуальных мнений оказались такими:

Элементы	Мероприятия
Повыше-ние качества сырья	Создание премиально-го фонда	Модерни-зация обору-дования	Повыше-ние квалифи-кации рабочих	Сокраще-ние управлен-ческого аппарата	Закупка лицензий
Повышение качества продукции		5.5	2.5	2.5	5.5
Снижение себестоимости			4.5		4.5

По (2.6) коэффициент

.

По (2.10) и (2.11)

;

;

.

Проверка значимости коэффициента ρ_Н при использовании табл. 2.2 показы­вает, что α=0,02. Поэтому на 5 %-ном уровне значимости можно считать, что реализация всех шести мероприя­тий с высокой степенью (р_н = 0,86) обеспечивает одновременное решение двух указанных задач.