Лекция 2
Бином Ньютона и его свойства.
Свойства сочетаний.
Основные понятия комбинаторики.
Лекция 1.
n-факториал-произведение первых n-натуральных чисел(обозначается n!)
Основными понятиями комбинаторики являются- размещения,перестановки и сочетания.
Пусть имеется множество, содержащее n-элементов.
Размещением из n-элементов по m-элементов(m≤n)-называются все подмножества, содержащие m-элементов и отличающиеся друг от друга или составом своих элементов или порядком их следования.
число размещений
Перестановками из n-элементов называются размещения из n-элементов по n-элементов.
–число перестановок.
Сочетаниями из n-элементов по m-элементов (m≤n) называются все m-элементные подмножества n-элементного множества, отличающиеся друг от друга только составом своих элементов.
- число сочетаний
1.
2.
3.
Воспользуемся формулами: = +2ab+ = +
= =
Используя принцип математической индукции (от частных примеров к общей формуле) получим формулу Ньютона:
=
Или кратко: – формула Ньютона для степени бинома.
Свойства:
1. Формула содержит (n+1)- слагаемое.
2. Показатель степени a - убывает от n до 0; Показатель степени b – возрастает от 0 до n.
3. Любой член разложения можно найти по формуле:.
4. Коэффициенты называется – биноминальными.
Биноминальные коэффициенты,равноудаленные от концов разложения, равны между собой.
5. Сумма всех биноминальных коэффициентов находятся по формуле:.
Подставим в формулу Ньютона a=b=1, получим,(1+ = =.
В комбинаторных задачах удобно пользоваться следующей таблицей:
Выбор | Сочетания | Размещение | Перестановка |
Без повторения | |||
С повторением |
Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности. Операции над случайными событиями.
Под случайным событием, связанным с некоторым опытом (испытанием) понимается всякое событие, которое при осуществлении опыта может произойти, а может и не произойти.
Случайные события обозначаются, заглавными буквами латинского алфавита A,B,C….
Виды случайных событий:
1. Событие, которое всегда происходит в результате опыта, называется – достоверным.
2. Событие, которое никогда не происходит в результате опыта, называется – невозможным.
3. Событие, состоящее в том, чтобы событие А не произошло называется противоположным событию А. Обозначается.
4. События А и В называется не совместными, если они не могут произойти одновременно.
5. События называют попарно не совместными, если никакие 2 из них не могут произойти одновременно.
6. События образуют полную группу событий если в результате опыта непременно произойдет хотя бы одно из них.
7. События А и В называется равновероятными если в результате опыта нет оснований считать, одно из них более возможным, чем другое.
8. Событие,приводящее к наступлению события А, называется благоприятствующим событию А.
9. Дома допечатать