Распределение Пуассона

Биномиальное распределение.

Лекция 7

Начальные и центральные моменты.

Начальными моментами k-го порядка обозначается = M(=, при k=1

=M(X)

Центральным моментом случайной величины (X) называется математические ожидания k-й степени отклонения случайной величины (Х) от ее математического ожидания.

= M (X-M (, при k=2, =Д(Х).

Основные законы распределения дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина (Х) распределена биномиально, если она принимает значения 0,1,2…,m…,n… с вероятностями, которые находятся по формуле Бернулли:

			…	m	…	n
			…		…

Теорема: Математическое ожидание дискретных случайных величин, распределенных биномиально, равняется произведению числа всех опытов на вероятность наступления события в отдельном опыте, то есть M(X)=n*p,дисперсия равняется произведению числа всех опытов на вероятность наступления и не наступления события в отдельном опыте, то есть Д(Х)=n*p*q.

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона, если она принимает значения 0,1,2…m…n…, с вероятностями,определяемыми по формуле Пуассона:

, где, a=np,p.

Закон распределения принимает вид:

				….	m	….
				….		….

Теорема:

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны параметру Пуассона. M(X)=a=n*p

D(X)=a=n*p

Задача:

Станок изготавливает за смену 100000 деталей. Вероятность изготовления бракованной детали. Найти вероятность того, что за смену будет изготовлено 5 бракованных деталей.

Решение

Обозначим. События, состоящие в том, что отдельная деталь бракована, независимы, число испытаний велико, а вероятность мала, поэтому воспользуемся распределением Пуассона.

Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина распределена геометрически, если она принимает значения 1,2,…m…(бесконечное, но счетное количество раз) с вероятностями,находящимися по формуле общего члена геометрической прогрессии:

Случайная величина X=m, распределенная геометрически, представляет собой число испытаний (m) до первого положительного исхода.

Составим ряд распределения:

			…	m	…
	p	q*p	…		…

Пример. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение. Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p= 0,6. Ряд распределения X имеет вид:

xi				...	m	...
pi	0,6	0,24	0,096	...	0,6·0,4 m	...

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равна

P(X≤3)=P(X= 1 )+P(X=2)+P(X=3)= 0,6+0,24+0,096=0,936.