Формула Пуассона. Формула Лапласа интегральная

Формула Лапласа интегральная

Приближенная формула Муавра-Лапласа(локальная).

Лекция 5

Повторение независимых испытаний,формула Бернули.

Пусть производится серия из n-независимых испытаний(опытов),в каждом из которых событие А наступает с вероятностью р.Тогда вероятность того,что событие А не произойдет q=1-p.

Вероятность того,что при n-испытаний событие произойдет ровно m-раз находится по формуле Бернулли:

-формула Бернулли

4.Наивероятнейшее число наступлений события(число успехов)находится по формуле:

np-q≤ ≤np+p

При большом значении n применение формулы Бернулли затруднительно. Тогда используют формулу Муавра- Лапласа. Муавр доказал частный случай для p=1/2.

, где -Функция Лапласа.

,если npq

Если требуется найти вероятность того,что при n-испытаниях событие наступит не меньше а-раз и не больше b-раз,то применяют интегральную формулу Лапласа:

,где Ф(x)= dx- интегральная функция Лапласа.

Ф(х)=-Ф(х)-функция нечетная.

При х

Теорема Лапласа

Если вероятность наступления события А постоянна и не равна 0 или 1,то вероятность того, что при n-испытаниях событие произойдет m-раз, вычисляется по формуле:

,

Где

Вероятность выпуска бракованных деталей рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных деталей будет не менее 75 стандартных.

Решение. По условию задачи р = 0,7, q = 0,3, n = 100. Условие "не менее" означает, что число стандартных деталей k заключено в пределах от l = 75 до т = 100. Согласно формуле (17.19) производим предварительные вычисления:

Далее по табл. 2 Приложения находим соответствующие зна­чения интегральной функции Ф(x), подставляем их в формулу (17.19) и получаем значение искомой вероятности:

Пример. Вероятность выпуска бракованного изделия рав­на 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.

Решение. Вероятность появления события А в одном ис­пытании (изделие без брака) р = 0,7, тогда q = 0,3, в нашем случае п = 100, k = 60. Последовательно вычисляем:

Теперь для найденного аргумента х находим по табл. 1 (см. Приложение) соответствующее значение φ (x); оно равно 0,0371. Подстановка этого числа в формулу (17.17) дает при­ближенное значение искомой вероятности:

Если р (начинается с сотых долей),то формула Муавра-Лапласа дает большую погрешность по сравнению с формулой Бернулли.В этом случае пользуются формулой Пуассона:

,где a=np-параметр Пуассона.

Пример

На факультете 1825 студентов. Какова вероятность, что

1-е сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1-го сентября - мала, n =1825 - велика,, то