Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова

Центральная предельная теорема представляет собой группу теорем, посвящённых установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Важное место занимает теорема Ляпунова.

Теорема Ляпунова. Если - независимые случайные величины, у каждой из которых существует математическое ожидание , дисперсия , абсолютный центральный момент 3-го порядка и , то закон распределения суммы при неограниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием и дисперсией .

Условие называется условием Ляпунова. Смысл его состоит в том, что действие каждого слагаемого (случайной величины) невелико по сравнению с суммарным действием их всех. Многие случайные явления, встречающиеся в природе и в общественной жизни, протекают именно по такой схеме.

Например. Потребление электроэнергии в каждой квартире многоквартирного дома за месяц можно представить в виде различных случайных величин. На основании теоремы Ляпунова можно считать, что потребление электроэнергии всем домом будет случайной величиной, имеющей приблизительно нормальный закон распределения. При условии, что ни одна квартира резко не выделяется среди остальных. Если в какой-либо квартире, например, установлен вычислительный центр, то вывод о нормальном распределении потребления энергии всем домом неверен, так как нарушается условие , ибо потребление энергии вычислительным центром будет намного больше, чем в остальных квартирах.