Метод electre I

Свойства бинарных отношений

Два основных этапа

При подходе РИПСА принято различать два основных эта па [1,2]:

• этап разработки, на котором строятся один или несколь ко индексов попарного сравнения альтернатив;

• этап исследования, на котором построенные индексы ис пользуются для ранжирования (или классификации) заданного множества альтернатив.

Индексы попарного сравнения альтернатив в большинстве методов строятся на основе принципов конкорданса (согласия) и дискорданса (несогласия). В соответствии с этими принципа ми, альтернатива A i является, по крайней мере, не худшей, чем альтернатива A j, если

• «достаточное большинство» критериев поддерживает это утверждение (принцип согласия);

• «возражения» по остальным критериям «не слишком силь ны» (принцип малого несогласия).

Подход РИПСА основан на построении бинарных отношений. Поэтому следует дать некоторые определения.

Бинарное отношение R, определенное на конечном множе стве альтернатив А, называется (при " A i, A j I А):

• полным, если A i R A j или A j R А i;

• транзитивным, если A i R A j, A j R А к? A i R A k;

• полным порядком, если оно полное и транзитивное;

• частичным порядком, если оно транзитивное, но не полное.

Обозначим через x i k, x k j оценки альтернатив А i, A j по к-му критерию.

Напомним, что отношение предпочтения ЛПР при сравне нии альтернатив по одному критерию является полным по рядком.

При подходе РИПСА вводится понятие псевдокритерия [1,2]. Псевдокритерием является тройка (х j k, q, p) функций, представляющих предпочтения ЛПР и определенных так, что:

q (xi k) + х i k > х j k, если по k -му критерию Ai имеет сильное предпочтение по сравнению с A j;

х i k + q (xi k)? xj k > xi k + p (x i k), если по k -му критерию A i имеет слабое предпочтение по сравнению с Aj.

Альтернативы Ai, Aj находятся в отношении безразличия по к-му критерию (х i k ~ xj k), если не выявлено сильное или слабое предпочтение одной из альтернатив.

Функции р и q называются соответственно порогами без различия и предпочтения. Бинарное отношение называется четким, если оно построено на основе критериев, и числовым (valued), если оно построено на основе псевдокритериев.

Далее мы рассмотрим ряд методов, принадлежащих подхо ду РИПСА.

Метод ELECTRE I был первым в семействе методов, при­ надлежащих к подходу РИПСА. В нем используются четкие бинарные отношения между альтернативами.

Индексы согласия и несогласия строятся следующим обра зом. Каждому из N критериев ставится в соответствие целое число w, характеризующее важность критерия. Б. Руа предло жил рассматривать w как число голосов членов жюри, подан ное за важность данного критерия.

Выдвигается гипотеза о превосходстве альтернативы А i над альтернативой Aj. Множество I, состоящее из N критериев, разбивается на три подмножества:

I + - подмножество критериев, по которым Ai предпочти тельнее A j;

I = - подмножество критериев, по которым А i равноценно A j;

I - — подмножество критериев, по которым Aj предпочти тельнее Ai.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о пре­ восходстве Ai над Aj. Индекс согласия подсчитывается на осно­ ве весов критериев. В методе ELECTRE I этот индекс определя­ ется как отношение суммы весов критериев подмножеств I + и I - к общей сумме весов:

Индекс несогласия d ав с гипотезой о превосходстве Ai над Aj определяется на основе самого противоречивого критерия - критерия, по которому Aj в наибольшей степени превосходит А i.

Чтобы учесть возможную разницу длин шкал критериев, разность оценок Aj и Ai относят к длине наибольшей шкалы:

где: l А, l д. — оценки альтернатив Ai и Aj по i -му критерию; L i - длина шкалы i -г o критерия.

Укажем очевидные свойства индекса согласия. 1) 0? С А i А j? 1;

• С А i А j =1, если подмножество I - пусто;

• С А i А j сохраняет значение при замене одного критерия

на несколько с тем же общим весом.

Приведем свойства индекса несогласия:

l) 0? d AiAj? l;

2) d AiAj сохраняет значение при введении более детальной шкалы по i -му критерию при той же ее длине.

Введенные индексы используются при построении матриц индексов согласия и несогласия для заданных альтернатив.

Отметим, что индекс несогласия может быть назван «вето», так как он как бы накладывает вето на сравнения.

В методе ELECTRE I бинарное отношение превосходства задается уровнями согласия и несогласия. Если С А i А j? a 1 и d Ai А j < g 1, где a 1, g 1 - заданные уровни согласия и несогла сия, то альтернатива А объявляется превосходящей альтерна тиву В.

Если же при этих уровнях сравнить альтернативы не уда­ лось, то они объявляются несравнимыми. С методологической точки зрения, введение понятия несравнимости было важным этапом развития теории принятия решений. Если оценки аль­ тернатив в значительной степени противоречивы (по одним критериям одна намного лучше другой, а по другим — наобо рот), то такие противоречия никак не компенсируются и такие альтернативы сравнивать нельзя. Понятие несравнимости ис­ключительно важно и с практической точки зрения. Оно по зволяет выявить альтернативы с “контрастными” оценкам как заслуживающие c пециального изучений!

Отметим, что уровни коэффициентов согласия и несогла сия, при которых альтернативы сравнимы, представляют собой инструмент анализа в руках ЛПР и консультанта. Задавая эти уровни (постепенно понижая требуемый уровень коэффициента согласия и повышая требуемый уровень коэффициента несо гласия), они исследуют имеющееся множество альтернатив.

При заданных уровнях на множестве альтернатив выделя ется ядро недоминируемых элементов, которые находятся либо в отношении несравнимости, либо в отношении эквивалентности. При изменении уровней из данного ядра выделяется меньшее ядро и т.д. Аналитик предлагает ЛПР целую серию воз можных решений проблемы в виде различных ядер. В конеч ном итоге можно получить и одну лучшую альтернативу. При этом значения индексов согласия и несогласия характеризуют степень «насилия» над данными, при которых делается окончательный вывод.

Итак, основные этапы метода ELECTRE I можно предста­ вить следующим образом.

Этап разработки индексов

На основании заданных оценок двух альтернатив подсчи тываются значения двух индексов: согласия и несогласия. Эти индексы определяют согласие и несогласие с гипотезой, что альтернатива Ai превосходит альтернативу Aj.

Задаются уровни согласия и несогласия, с которыми срав ниваются подсчитанные индексы для каждой пары альтерна тив. Если индекс согласия выше заданного уровня, а индекс несогласия ниже, то одна из альтернатив превосходит другую. В противном случае альтернативы несравнимы.

Этап исследования множества альтернатив

Из множества альтернатив удаляются доминируемые. Ос тавшиеся образуют первое ядро. Альтернативы, входящие в ядро, могут быть либо эквивалентными, либо несравнимыми.

Вводятся более «слабые» значения уровней согласия и не согласия (меньший по значение уровень согласия и больший уровень несогласия), при которых выделяются ядра с меньшим количеством альтернатив. В последнее ядро входят наилучшие альтернативы. Последовательность ядер определяет упорядо ченность альтернатив по качеству.