Тройной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных.
Пусть в замкнутой области V пространства Охуz задана непрерывная функция u = f (x, y, z). Разбив область V сеткой поверхностей на n частей Vi, i = 1,2,..., n, объемы которых обозначим через D Vi, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через d i, и выбрав в каждой из них произвольную точку M i (x i, y i, z i), составим интегральную сумму
для функции f (x, y, z) по области V.
Если предел интегральных сумм существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая “элементарная область” Vi стягивается в точку (т.е. диаметр области d i стремится к нулю: d i ® 0), то его называют тройным интегралом от функции u = f (x, y, z) по области V и обозначают символом или . Т.о., по определению
= . (1)
Здесь dx dy dz – элемент объема.
Теорема. Всякая функция f (x, y, z), непрерывная в ограниченной замкнутой области V, интегрируема в этой области. |