Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Основные свойства тройного интеграла

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех

определенных интегралов.

Пусть область интегрирования V – тело, ограниченное снизу

поверхностью z = z ₁(x, y), сверху - поверхностью z = z ₂(x, y),

причем z ₁(x, y), z ₂(x, y) (z ₁(x, y) £ z ₂(x, y)) – непрерывные

функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на

плоскость Оху (рис. 1).

Считаем, что область V правильная в направлении оси Oz: любая

прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более

чем в двух точках (или по целому отрезку). Тогда для любой

непрерывной в области V функции f (x, y, z) имеет место формула Рис. 1.

= , (2)

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного

интеграла от однократного. При этом сначала вычисляется внутренний

интеграл по переменной z, при постоянных х и у в пределах измене-

ния z. Нижней границей интеграла является аппликата точки А – точки

входа прямой, параллельной оси Oz, в область V, т.е. z = z ₁(x, y); верхней

границей – аппликата точки В – точки выхода прямой из области V,

т.е. z = z ₂(x, y). Результатом вычисления этого интеграла является Рис.2.

функция двух переменных х и у.

Если область D ограничена линиями х = а, х = b (a < b), y = j ₁(x) и y = j ₂(x), где j ₁(x) и j ₂(x) – непрерывные на отрезке [ a, b ] функции, причем j ₁(x) £ j ₂(x) (рис. 2), то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу, по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах:

= , (3)

Пример 1. Пусть V – тело, ограниченное эллипсоидом ++= 1.

В этом случае D состоит из точек, удовлетворяющих неравенству +≤ 1 =>

==

Замечания. 1. Если область V представляет собой прямоугольный параллелепипед

V ={ a £ x £ b, c £ y £ d, l £ z £ m }, проектирующийся на плоскость Oyz в прямоугольник

R ={ c £ y £ d, l £ z £ m }. Тогда

.

2. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (3).

3. Порядок интегрирования в формулах (3)- (4), при определенных условиях,

может быть иным.

Пример 2. Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями: х = 0, у = 0, z = 0 и x + 2 y + z – 6 = 0.

Проекцией тетраэдра на плоскость Оху является треугольник, образованный прямыми

х = 0, у = 0 и x + 2 y = 6, т.е. х изменяется от 0 до 6, а при фиксированном х (0 ≤ х ≤ 6)

у изменяется от 0 до 3 – (рис. 3). Если же фиксировать и х и у, то точка может

перемещаться по вертикали от плоскости z = 0 до плоскости x + 2 y + z – 6 = 0, т.е.

меняется в пределах от z = 0 до z = 6 – х – 2 у. Следовательно,

V =|| f (x, y) = 1 || = = = dx = Рис.3.

= .