Тройной интеграл в цилиндрических координатах

В цилиндрической системе координат положение точки Р в пространстве

определяется тремя числами r, j, z, где r и j - полярные координаты

проекции Р ¢ точки Р на плоскость Оху, а z – аппликата точки Р (рис.4).

Тройка чисел r, j, z называется цилиндрическими координатами

точки Р.

Ясно, что 0 £ r < +¥, 0 £ j < 2p, -¥ < z < +¥. Рис.4.

В системе цилиндрических координат поверхности r = const, j = const, z = const

соответственно описывают: круговой цилиндр, ось которого совпадает с осью Oz; полуплоскость, примыкающую к оси Oz; плоскость, параллельную плоскости Оху.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми формулами

J = = = ρ. Т.к. ρ ≥ 0, то | J | = ρ и формула (2) перехода от тройного интеграла в прямоугольных координатах к интегралу в цилиндрических координатах принимает вид

, (3)

Выражение dv = ρ dρ dφ dz называется элементом объема в цилиндрических координатах.

Пример 3. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x ² + y ² и z = 2 – x ² – y ² (рис.5).

В цилиндрических координатах заданные поверхности будут заданы уравнениями

z = ρ ² и z = 2 – ρ ². Эти поверхности пересекаются по линии z, которая описывается

системой уравнений z = , а ее проекция на плоскость Оху –

системой . Т.о., D ٭= { 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2 π, ρ ² ≤ z ≤ 2 – ρ ² }. Следовательно,

V = || f (x, y, z) = 1 || = = || J = ρ || = = =

= 2 π = 4 π = π. Рис.5.

Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в случае, если