Рассмотрим случай, когда в нашей задачи ограничения типа неравенств
неактивны, т.е. точка экстремума лежит внутри области на .
Это означает, что правая часть соотношения
(4)
становится равной нулю, тогда
(5);
(6), (7)
- условие Лагранжа, необходимое условие существования экстремума при наличии ограничений лишь типа равенств. Условие Лагранжа получается как необходимое условие существования безусловного экстремума функции Лагранжа, имеющей вид
(8),
где - неопределенные множители Лагранжа.
Условие (7) как необходимое условие существования экстремума (8).
Т.о. необходимое условие существования безусловного экстремума ее дифференцированием по переменным с приравниванием результата к нулю и дополнением с системой уравнений ограничений типа равенств. Из решения находим и .
Рассмотрим пример:
Необходимо определить соотношение между высотой и диаметром цилиндрического аппарата имеющего крышку и дно («бочка»), объем которой задан, но изготовление, которой идет min количество материала, т.е. поверхность минимальна.
|
|
; ;